[obm-l] =?utf-8?Q?Problemas_de_An=C3=A1lise?=

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Para os que estão estudadando Análise, recomendo os seguintes exercícios. São instrutivos.

1) Seja f::R→ R uma função não idênticamente nula tal que f(x+y) = f(x) f(y) para todos x, y em R. Mostre que:
a) f(x)>0 para todo x real
b) f(-x) = 1/f(x) para todo x real
c) sendo a = f(1), então f(x) = a^x para todo racional x.
d) se for contínua em algum w em R, então f é contínua em todo R.
e) se f for diferenciável em algum w em R, então f é diferenciável em todo R. Neste caso, para todo x real temos que f(x) = a^x
f) sem assumir diferenciabilidade em R, é possível garantir que f seja 
uma função exponencial?

2) Seja f definida e contínua em um subconjunto D de R^p e com valores em R^q. Mostre que, se f apresentar limite em todos os pontos de acumulação de D, então f possui uma única extensão contínua para o fecho de D. Isto é, sendo D'o fecho de D, existe uma única função g:D' --> R^q, contínua em D', tal que g(x) = f(x) para todo x em D'.   

Artur

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