Re: [obm-l] Mais Problemas em Aberto

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Mais Problemas em Aberto

> 4) Seja f:N---->R uma função tal que f(1)=3 e
> f(m+n)+f(m-n)-m+n-1=(f(2m)+f(2n))/2 para todos os inteiros não negativos m e n com m>=n. 
> Determine a expressão de f(m).
>
> m = n ==> 
> f(2n) + f(0) - 1 = f(2n) ==> 
> f(0) = 1
>
> n = 0 ==>
> f(m) + f(m) - m - 1 = [f(2m) + f(0)]/2 ==>
> 4f(m) - 2m - 2 = f(2m) + 1 ==>
> f(2m) = 4f(m) - 2m - 3
>
> Fazendo m+n = p   e   m-n = q ==>
> p >= q   e   m = (p+q)/2   e   n = (p-q)/2 ==>
> f(p) + f(q) - (p+q)/2 + (p-q)/2 -1 = [f(p+q)+f(p-q)]/2 ==>
> f(p) + f(q) - q - 1 = [f(p+q)+f(p-q)]/2
>
> p = q+1 ==>
> f(q+1) + f(q) - q - 1 = [f(2q+1)+f(1)]/2 ==>
> f(2q+1) = 2[f(q+1) + f(q) - q] - 5 ==>
>
> Resumindo, temos:
> f(0) = 1
> f(1) = 3 
> e para todo n >= 0:
> f(2n) = 4f(n) - 2n - 3
> f(2n+1) = 2[f(n+1) + f(n) - n] - 5
>
> Calculando os valores seguintes de f, chegamos a:
> f(2) = 7
> f(3) = 13
> f(4) = 21
> f(5) = 31
> f(6) = 43
> f(7) = 57
>
> Reparamos que vale, para todo k, com 1 <= k <= 7:
> f(k) = f(k-1) + 2k.
>
> Juntamente com f(0) = 1, esta equacao implica que:
> f(k) = k^2 + k + 1  para 0 <= k <= 7.
>
> Temos agora a nossa hipotese de inducao:
> Suponhamos que, para 0 <= k < n, f(k) = k^2 + k + 1.
>
> n eh par ==>
> n = 2m ==>
> f(2m) = 4f(m) - 2m - 3 = 4(m^2 + m + 1) - 2m - 3 =
> 4m^2 + 2m + 1 = (2m)^2 + (2m) + 1 = n^2 + n = 1 ==>
> Se n eh par, entao f(n) = n^2 + n = 1.
>
> n eh impar ==>
> n = 2m+1 ==>
> f(2m+1) = 2[f(m+1) + f(m) - m] - 5 =
> 2[(m^2+2m+1) + (m+1) + 1 + m^2 + m + 1 - m] - 5 =
> 4m^2 + 6m + 3 =
> (4m^2 + 4m + 1) + (2m + 1) + 1 =
> (2m+1)^2 + (2m+1) + 1 = n^2 + n + 1 ==>
> Se n eh impar, entao f(n) = n^2 + n = 1.
>
> Logo,  para todo n >= 0, f(n) = n^2 + n + 1.
>
> Um abraco,
> Claudio.