Re: [obm-l] Como resolvo essa??

["amurpe" <amurpe@xxxxxxxxxx>]

Valeu , Claudio/Pratica/ . 

Solução muito bonita , clara e principalmente CRIATIVA!.

Parabéns.

um grande abraço.

Amurpe


Oi, Rodrigo:
> 
> Esse deu um certo trabalho, mas acho que consegui. Veja
 mais abaixo.
> 
> ----- Original Message -----
> From: "Rodrigo Badia Piccinini" <rbpicci@bol.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Friday, March 28, 2003 10:36 AM
> Subject: [obm-l] Como resolvo essa??
> 
> 
> >
> > Notação: sqrt() é a raiz quadrada de em número
> >
> >
> > sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x
> >
> > Por Favor me ajudem!!
> >
> 
> Imagino que você já tenha tentado elevar ao quadrado, r
earranjar e elevar ao
> quadrado de novo.
> E que caiu numa equação do 4o. grau com um termo em x, 
logo, difícil de
> resolver.
> 
> Já que resolver a equação em "x" não deu muito certo, q
ue tal tentar
> resolver a equação em "5"?
> 
> Primeiro eleve ao quadrado:
> 5 - sqrt(5 - x) = x^2 ==>
> 5 - x^2 = sqrt(5 - x)
> 
> Agora eleve ao quadrado de novo:
> 5^2 - 2*x^2*5 + x^4 = 5 - x.
> 
> Agora rearranje para cair numa equação do 2o. grau em "
5":
> 5^2 - (2*x^2 + 1)*5 + (x^4 + x) = 0
> 
> Delta = (2*x^2 + 1)^2 - 4*(x^4 + x) =
> 4*x^4 + 4*x^2 + 1 - 4*x^4 - 4*x =
> 4*x^2 - 4*x + 1 =
> (2*x - 1)^2 ==> sqrt(Delta) = 2*x - 1
> 
> Logo, usando a velha fórmula, teremos:
> 5 = [ (2*x^2 + 1)  +ou-  (2*x - 1) ] / 2 ==>
> 10 = 2*x^2 + 2*x   ou   10 = 2*x^2 - 2*x + 2 ==>
> 2*x^2 + 2*x - 10 = 0   ou   2*x^2 - 2*x - 8 = 0 ==>
> x^2 + x - 5 = 0   ou   x^2 - x - 4 = 0 ==>
> 
> As raízes da 1a. equação são: x1 = (-1 + raiz
(21))/2   e   x2 = (-1 -
> raiz(21))/2
> 
> As raízes da 2a. equação são: x3 = (1 + sqrt
(17))/2  e  x4 = (1 -
> sqrt(17))/2
> 
> Agora, temos que testar estes quatro valores na equação
 original para
> eliminar possíveis raízes "falsas" introduzidas quando 
elevamos ao quadrado.
> 
> Se estivermos interessados em raízes reais, então podem
os eliminar de cara
> x2 e x4, pois ambas são negativas e sqrt(5 - (sqrt(5 -
 x)) é positivo por
> definição, logo não pode ser igual a x se x < 0.
> 
> Para testar x1 e x3, o seguinte resultado pode ser útil
:
> 
> Sejam a e b são números reais positivos tais que a >= s
qrt(b).
> Então sqrt(a - sqrt(b)) = sqrt(m) - sqrt(n), onde:
> m e n são as raízes de x^2 -
 a*x + b/4 = 0  e  m >= n > 0.
> Dem:
> sqrt(a - sqrt(b)) = sqrt(m) - sqrt(n) ==>
> a - sqrt(b) = m + n - sqrt(4*m*n) ==>
> m + n = a   e   m*n = b/4 ==>
> m e n são raízes de x^2 - a*x + b/4 = 0
> 
> sqrt(a - sqrt(b)) >= 0 ==>
> sqrt(m) >= sqrt(n) ==>
> m >= n
> 
> m + n = a > 0 e m*n = b/4 > 0 ==>
> m > 0 e n > 0 ==>
> m >= n > 0
> -------
> 
> Como x1 e x3 são positivos, podemos elevar a equação or
iginal ao quadrado e
> ter certeza de que se x1 ou x3 satisfaz à equação ao qu
adrado, então irá
> satisfazer a equação original.
> 
> Assim:
> sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x ==>
> 5 - sqrt(5 - x) = x^2 ==>
> 5 - x^2 = sqrt(5 - x)
> 
> Testando x1 = (-1 + sqrt(21))/2:
> 5 - x1^2 = 5 - (11 - sqrt(21))/2 = (-1 + sqrt(21))/2
> 
> sqrt(5 - x1) = sqrt((11 - sqrt(21))/2) = sqrt(22 - sqrt
(84))/2 =
> (sqrt(21) - sqrt(1))/2 = (-1 + sqrt(21))/2
> 
> Logo, x1 satisfaz à equação original.
> 
> Testando x3 = (1 + sqrt(17))/2:
> 5 - x3^2 = 5 - (9 - sqrt(17))/2 = (1 - sqrt(17))/2
> 
> sqrt(5 - x3) = sqrt((9 - sqrt(17))/2) = sqrt(18 - sqrt
(68))/2 =
> (sqrt(17) - sqrt(1))/2 = (-1 + sqrt(17))/2
> 
> Logo, x3 não satisfaz à equação original.
> 
> Assim, a única solução real é x1 = (-1+sqrt(21))/2.
> 
> *** FIM ***
> 
> Um abraço,
> Claudio.
> 
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