Re: [obm-l] Teoria dos grupos

["Eduardo Tengan" <tengan@xxxxxxxxxxxxxx>]

----- Original Message -----
From: Tertuliano Carneiro <tertuca@yahoo.com.br>
Date: Fri, 21 Mar 2003 14:46:06 -0300 (ART)
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Teoria dos grupos

> 
> Olá pessoal!
> 
> Alguém poderia tentar resolver estes problemas sobre grupos?
> 
>  
> 
> 1) Seja An o conjunto de funções pares do grupo Sn das permutações. Mostre que A4 não tem subgrupo de ordem 6.

Seja N um subgrupo de ordem 6 (indice 2) em A4, portanto normal em A4.  Seja V o subgrupo {1, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}, que tambem e' normal em A4 (verifique, utilizando por exemplo o fato de que conjugacao em Sn nao altera o "tipo" da permutacao). Note que V consistem em todos os elementos g em A4 tais que g^2=1.
Entao H = N inter V tambem e' normal em A4, mas |H|=2 ou |H|=1 (Lagrange) e os subgrupos de ordem 2 de V nao sao normais em A4. Mas como |N|=6, par, N tem elementos de ordem 2 (Sylow ou pareie os elementos g e g^(-1)), entao H nao e' trivial, contradicao.

> 
> 2) Mostre que, se um grupo é abeliano finito, então vale a recíproca do teorema de Lagrange.   
> 

Seja n=|G|, se p|n, p primo, entao existe um subgrupo H de G de ordem p (Sylow ou inducao: verdadeiro para grupos ciclicos, entao se g diferente de 1 em G tem ordem r divisivel por p, acabou, caso contrario p divide |G/<g>| < |G|, logo existe h nao em <g> tal que h^p=g^k e h^r tem ordem p).

Agora se m|n, tome p|m, e considere H subgrupo de G de ordem p.  Aplique inducao em G/H para achar um subgrupo de ordem m/p,a pre-imagem deste subgrupo tem ordem m.

>  
> 
> Grato,
> 
> Tertuliano Carneiro.
> 

Ate',
ET


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