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Re: [obm-l]Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_Olimpíadas_ao_redor_do_mundo...
Cláudio_(Prática) <claudio@praticacorretora.com.br> wrote:
Oi, Crom:
Há um tempo atrás , eu perguntei ao Prof. Eduardo Wagner se havia alguma
forma sistemática de se resolver problemas de geometria mediante construções
auxiliares.
A resposta dele foi a seguinte:
"A resposta eh nao. Se existisse, a atividade de resolver problemas nao
teria
a menor graca. Mas as tentativas em obter construcoes auxiliares nao ocorrem
inteiramente ao acaso. Tracar uma paralela, uma perpendicular, fazer uma
rotacao, uma simetria (entre outras coisas), frequentemente permitem reunir
os dados
do problema em outra posicao, permitindo encontrar uma relacao entre eles.
[......]
A melhor fonte para conseguir construcoes auxiliares eh certamente a
experiencia.
Conhecer muitos problemas e observar cuidadosamente o porque da construcao."
Essa resposta vale também para a resolução de equações diofantinas (e, de
fato, para qualquer problema matemático).
Por exemplo, na outra equação que você menciona:
y^3 - x^3 = 9xy + 127
eu comecei usando congruência mod 3 por causa dos cubos, do coeficiente 9 e
até mesmo do 27 em 127 (apesar de 127 ser = 1 (mod 3)).
De certa forma, eu tentei explorar uma simetria do problema - vários itens
múltiplos de 3.
Agora, quanto aos novos problemas:
PROBLEMA 1:
Uma alternativa é observar que as constantes numéricas são todas múltiplas
de 12.
Logo, você poderia pensar em usar congruência mod 12.
No entanto, uma outra observação é que o maior expoente de x que aparece é
2.
Dada a familiariadade que todos nós temos (espero!) com as equações de 2o.
grau, sou forçado, nesse caso, a concordar com o Dirichlet - a melhor forma
de proceder é agrupar os coeficientes de forma a obter uma equação do 2o.
grau em x:
y(x^2+36)+x(y^2-36)+y^2(y-12) = 0 ==>
yx^2 + (y^2-36)x + y^3-12y^2+36y = 0
Se y = 0, então só pode ser x = 0 ==> (0,0) é solução
Supondo y <> 0, dividindo a equação por y e fatorando, obtemos:
x^2 + [(y-6)(y+6)/y]x + (y-6)^2 = 0 (A)
Delta = [(y-6)(y+6)/y]^2 - 4(y-6)^2
= [(y-6)^2/y^2] * [-3(y+2)(y-6)]
Se existem soluções inteiras, então Delta é quadrado perfeito ==>
-3(y+2)(y-6) é quadrado perfeito ==>
-3(y+2)(y-6) = m^2, para algum inteiro m ==>
y^2 - 4y + (m^2/3 - 12) = 0 (B)
Delta1 = 16 - 4(m^2/3 - 12) = 64 - 4m^2/3 = 4(16 - m^2/3)
Novamente temos que:
Se existe algum y inteiro que satisfaz a equação (B), então Delta1 é
quadrado perfeito ==>
16 - m^2/3 é quadrado perfeito ==>
em particular, m é múltiplo de 3
m = 0 ==> 16 - m^2/3 = 16 = 4^2
m = 3 ==> 16 - m^2/3 = 16 - 3 = 13 ==> não é q.p.
m = 6 ==> 16 - m^2/3 = 4 = 2^2
m >= 9 ==> 16 - m^2/3 < 0 ==> não é q.p.
Assim, m só pode ser 0 ou 6. Substituindo em (B), obtemos:
m = 0 ==>
y^2 - 4y - 12 = 0 ==>
y = 6 ou y = -2
m = 6 ==>
y^2 - 4y = 0 ==>
y = 0 ou y = 4
Substituindo estes valores de y em (A):
x^2 + [(y-6)(y+6)/y]x + (y-6)^2 = 0
obtemos:
y = 6 ==>
x^2 = 0 ==>
x = 0 ==>
(0,6) é solução
y = -2 ==>
x^2 + 16x + 64 = 0 ==>
(x + 8)^2 = 0 ==>
x = -8 ==>
(-8,-2) é solução
y = 0 ==> caso já tratado acima (implica em x = 0)
y = 4 ==>
x^2 - 5x + 4 = 0 ==>
x = 1 ou x = 4 ==>
(1,4) e (4,4) são soluções
Logo, pela análise acima, as únicas soluções são:
(0,0), (0,6) e (-8,-2), (1,4) e (4,4)
Pergunta pra você: Por que eu posso afirmar que estas são realmente as
ÚNICAS soluções inteiras?
***********
PROBLEMA 2:
Aqui você pode usar uma propriedade da função d: N --> N definida por:
d(x) = número de divisores positivos de x
A propriedade é a seguinte:
se mdc(m,n) = 1 então d(m*n) = d(m)*d(n)
Ela é equivalente à seguinte propriedade da função d:
Se n = p1^a1*p2^a2*...*pr^ar, onde os pi são primos distintos e os ai são
inteiros não negativos, então:
d(n) = (a1 + 1)*(a2 + 1)*...*(ar + 1)
Esta propriedade pode ser provada sem muito problema por indução (em r) ou
então pelo princípio multiplicativo da análise combinatória.
Dito isso, passemos ao problema:
Suponhamos que n = 2^a*3^b*m, onde a e b são inteiros não negativos e m é um
inteiro positivo primo com 2 e 3.
Então:
2n = 2^(a+1)*3^b*m
3n = 2^a*3^(b+1)*m
6n = 2^(a+1)*3^(b+1)*m
Logo:
d(2n) = (a+2)*(b+1)*d(m) = 28 (1)
d(3n) = (a+1)*(b+2)*d(m) = 30 (2)
d(6n) = (a+2)*(b+2)*d(m)
Agora, sabemos que:
28 = 2*2*7
30 = 2*3*5
e que d(m) é um fator comum a 28 e 30 ==>
d(m) = 1 ou d(m) = 2
Caso 1:
d(m) = 1 ==>
(a+2)*(b+1) = 28 e (a+1)*(b+2) = 30 ==>
ab + a + 2b = 26 e ab + 2a + b = 28 ==>
(subtraindo as duas equações) ==>
a = b + 2 ==>
(substituindo o valor de a na 2a. equação) ==>
(a+1)*a = 30 ==>
a = 5 ==>
b = 3 ==>
d(6n) = 7*5*1 = 35
Caso 2:
d(m) = 2 ==>
(a+2)*(b+1) = 14 e (a+1)*(b+2) = 15 ==>
ab + a + 2b = 12 e ab + 2a + b = 13 ==>
a = b + 1 ==>
(a+2)*a = 14 ==>
a não é inteiro ==>
não há solução quando d(m) = 2
Logo, a conclusão é que d(6n) = 35.
----- Original Message -----
From:
To:
Sent: Tuesday, March 18, 2003 12:01 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo...
> Nao precisa disso tudo...Analise uma equaçao de segundo grau em x ai ce
> resolve com deltas e manda bala!!!!Use teoria bem elementar dos numeros.
> Na outra use as definiçoes
>
>
> -- Mensagem original --
>
> > E aí moçada.....tô mandando uns problemas , na esperança de ajuda...
> >1) Determine todos os pares de números inteiros ( x,y ) que satisfazem
> a
> >
> >equação:
> > y(x^2+36)+x(y^2-36)+y^2(y-12)=0.
> >neste exercicio fiz o seguinte( baseado na resolução de uma outra equação
> >
> >pelo Claudio pratica), fiz y=x+a, substitui na equação e depois fiz a
análise
> >
> >para alguns valores de a que anulavam parcelas da equação achando os
pares
> >,
> >(4,4), ( 0,0 ),
> >( 0,6 ) e (-8,-2 ).....Mas como posso analisar as soluções para valores
> de
> >a
> >que não anulam essas parcelas???
> >2) 2n tem 28 divisores distintos, 3n tem 30 divisores
distintos...determine
> >o
> >numero de divisores de 6n, onde n é natural???
> >Se alguem mandar uma ajuda, será de grande valia pra mim, que não tinha
>
> >contato com matemática olímpica. Está matemática que banaliza a maioria
> das
> >
> >provas de vestibular e com certeza as provas acadêmicas da faculdade(
dada
> >a
> >imprevisibilidade das questões) é tão fascinante quanto
> >complexa...principalmente pra iniciantes como eu.
> > Crom
> >
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> TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE
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