Re: [obm-l] Problemas

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

> 2°(II)Prove, para todo inteiro positivo n, que
> (2^1/2)*(4^1/4)*..*[(2 ^n)^1/(2^n)] < 4
>
P = (2^(1/2))*(4^(1/4))*(8^(1/8))*...*((2^n)^(1/2^n))  ==>
P = (2^(1/2))*(2^(2/4))*(2^(3/8))*...*(2^(n/2^n)) ==>
P = 2^(1/2 + 2/4 + 3/8 + ... + n/2^n) = 2^E

O expoente E é calculado da seguinte forma:
E = 1/2 + 2/4 + 3/8 + ... + n/2^n ==>
(1/2)*E = 1/4 + 2/8 + ... + (n-1)/2^n + n/2^(n+1) ==>
(1 - 1/2)*E = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n - n/2^(n+1) ==>
E = 1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^(n-1) - n/2^n ==>
E = (1 - 1/2^n)/(1 - 1/2) - n/2^n  ==>
E = 2*(1 - 1/2^n) - n/2^n = 2 - (n+2)/2^n < 2

Logo, 2^E < 2^2 = 4

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> 3°(III)Prove que 2*sen(2°)+4sen(4°)+...+178*sen(178°)=
> 90*cotg(1°).
>
Tendo em conta que sen(180 - x) = sen(x), teremos:

Soma = 2*sen(2) + 4*sen(4) + ...
... + 88*sen(88) + 90*sen(90) + 92*sen(88) +...
... + 176*sen(4) + 178*sen(2)  ==>

Soma = 180*(sen(2) + sen(4) + ... + sen(88)) + 90  ==>

Usando a fórmula:
sen(x)+sen(2*x)+...+sen(n*x) =
[sen(n*x/2)*sen((n+1)*x/2)]/sen(x/2),
com x = 2 graus e n = 44, teremos:

Soma = 180*[ sen(44*2/2)*sen(45*2/2) ]/sen(2/2) + 90 ==>

Soma = 180*sen(44)*sen(45)/sen(1) + 90 ==>

Usando que sen(45) = cos(45) = 1/raiz(2) e que:
sen(44) = sen(45-1) = sen(45)cos(1) - cos(45)sen(1), ou seja,
sen(44) = [cos(1) - sen(1)]/raiz(2), teremos:

Soma = 180*[cos(1) - sen(1)]/raiz(2)*[1/raiz(2)]/sen(1) + 90  ==>

Soma = 180*[cos(1) - sen(1)]/[2*sen(1)] + 90  ==>

Soma = 90*cotg(1) - 90 + 90 = 90*cotg(1)

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> 8°(VIII) Demonstrar que para qualquer valor inteiro e
> positivo de m
> 1/2² + 1/3² + ... + 1/n² < (n-1)/n
>
1/2^2 < 1/(1*2) = 1 - 1/2
1/3^2 < 1/(2*3) = 1/2 - 1/3
....
1/n^2 < 1/(n-1)*n) = 1/(n-1) - 1/n

Somando tudo e cancelando os termos comuns, ficamos com:

1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/n^2 < 1 - 1/n = (n-1)/n

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> 11°(XI)
> Sejam a,b,c as raízes da equação x³=x²+x+1. Prove que
> (a^1995-b^1995)/(a-b) + (b^1995-c^1995)/(b-c) + (c^1995-
> a^1995)/(c-a) é inteiro.
>
Inicialmente, temos que verificar se a, b e c são distintos.
p(x) = x^3 - x^2 - x - 1  ==>
p'(x) = 3x^2 - 2x - 1
Raízes de p'(x): x = 1  e  x = -1/3
p(1) = -2  e  p(-1/3) = -22/27
Logo, p(x) não tem nenhuma raiz em comum com p'(x) ==>
a, b e c são distintos.

Agora, defina, para todo inteiro n >= 0,
F(n) = (a^n-b^n)/(a-b) + (b^n-c^n)/(b-c) + (c^n-a^n)/(c-a)

Em seguida, use que:
F(0) = 0 + 0 + 0 = 0;
F(1) = 1 + 1 + 1 = 3;
F(2) = (a+b)+(b+c)+(c+a) = 2*(a+b+c) = 2*1 = 2
(consequência das fórmulas de Viete para a relação entre coeficientes e
raízes de um polinômio)
e que
a^3 = a^2 + a + 1 ==> a^(n+1) = a^n + a^(n-1) + a^(n-2)
(multiplicando por a^(n-2); igualmente para b e c)
para provar, por indução, que F(n) é inteiro para todo n inteiro positivo.

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> 12°(XII)
> SEndo a,b,c racionais distintos, prove que
> 1/(a-b)² + 1/(b-c)² + 1/(c-a)² é sempre o quadrado de um
> número racional.
>
Podemos reduzir a, b e c a um denominador comum (d) tal que:
a = m/d,  b = n/d,  c = p/d   onde m, n, p são inteiros distintos e d é
inteiro e <> 0

1/(a-b)^2 = 1/(m/d - n/d)^2 = d^2/(m-n)^2
1/(b-c)^2 = d^2/(n-p)^2
1/(c-a)^2 = d^2/(p-m)^2

Soma = d^2*(1/(m-n)^2 + 1/(n-p)^2 + 1/(p-m)^2)

Pondo m-n = u   e   n-p = v,  teremos que p-m = -(u+v).

Assim:
Soma =  d^2*(1/u^2 + 1/v^2 + 1/(u+v)^2) ==>

Soma = d^2*[(u^2+v^2)*(u+v)^2 + u^2*v^2]/[u^2*v^2*(u+v)^2]

O denominador é igual a [u*v*(u+v)]^2 ==> quadrado perfeito

O numerador é igual a:
d^2*[(u^2+v^2)*(u^2 + 2*u*v + v^2) + u^2*v^2] =
d^2*[(u^2+v^2)^2 + 2*(u^2+v^2)*u*v + u^2*v^2] =
d^2*(u^2 + v^2 + 2*u*v)^2 ==> quadrado perfeito

Logo,
Soma = [ d*(u^2 + v^2 + 2*u*v) ]^2 / [u*v*(u+v)]^2  ==> quadrado de um
número racional

Um abraço,
Claudio.

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