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Suponha que existem n primos: P1 < P2 < ...
< Pn.
Então, teremos: P1 + ... + Pn = 27*n, e queremos
achar Pn.
Os primos menores que 27 são 2, 3, 5, 7, 11, 13,
17, 19 e 23. Vamos chamá-los de "primos inferiores". Todos os demais serão
"primos superiores".
A fim de "maximizar" Pn, devemos ter a média
composta do maior número possível de primos inferiores e do menor número
possível de primos superiores. Assim, vamos ver se damos a sorte de ter todos os
9 primos inferiores e apenas um primo (Pn) superior incluído na
média.
27*10 = 2+3+...+23+Pn = 100+Pn ==> Pn = 170
==> não é primo
Em seguida, podemos eliminar um primo inferior
de cada vez, começando com o mais alto (23):
27*9 = 2+3+...+19+Pn = 77+Pn ==> Pn = 166
==> não é primo
Além disso, a má notícia é que eliminando
um único primo inferior ímpar, nós sempre acharemos um valor par para Pn.
Logo, se tivermos que eliminar um primo inferior, ele só pode ser o 2.
Vejamos:
27*9 = 3+5+...+23+Pn = 98+Pn ==> Pn = 145
==> não é primo.
O passo seguinte é eliminar dois primos inferiores
de cada vez. Começando com os dois mais altos (19 e 23), teremos:
27*8 = 2+3+5+...+17+Pn = 60+Pn ==> Pn = 156
==> não é primo
Além disso, da mesma forma que acima, concluímos
que eliminando qualquer par de primos ímpares resultará em Pn par. Logo, 2 terá
que ser necessariamente eliminado.
Vamos eliminar 2 e 23:
27*8 = 3+5+...+19+Pn = 75+Pn ==> Pn = 141 ==>
primo (enfim!!!).
Assim, se existe um único primo superior na média,
o seu valor máximo é 141.
A fim de completar a análise, devemos considerar o
caso em que há 2 ou mais primos superiores compondo a média.
Suponhamos que a média tenha m primos inferiores e
n primos superiores (n >= 2). Então:
27*(m+n) = m*Minf + n*Msup (Minf
(Msup) = média dos primos inferiores (superiores) ) ==>
Msup = 27*(m+n) - m*Minf = (27 - Minf)*m/n +
27
Não é difícil ver que o maior valor
possível de (27 - Minf)*m ocorre justamente quando todos os 9 primos
inferiores estão presentes ==> (27 - Minf)*m = 27*m - Minf*m = 27*9 -
(2+3+...+23) = 243 - 100 = 143
Logo, o valor máximo de Msup qundo há n primos
superiores é menor ou igual a 143/n + 27 ==> uma função decrescente de
n.
Com n = 2 ( o menor valor permitido de n), teremos
que Msup <= 143/2 + 27 = 98,5 < 141.
Logo, com 2 ou mais primos, Msup será menor do que
141 ==> a sequencia de primos distintos com média igual a 27 tem apenas um
primo superior, igual a 141.
Um abraço,
Claudio.
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