[obm-l] Re: [obm-l] análise de funções

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

> observe:
> y'(t)=a*y(t)
> Y'(t)/y(t)=a
>
> Pode-se afirmar que lny(t)=at + K, com K pertencente
> aos reais?Demonstre isso.
>
>
ln(y(t)) = at + K ==> y(t) = e^(at + K) = Ae^at, com A real > 0  (A = e^K).

Assim, y(t) = Ae^at satisfaz a equação diferencial y'(t) = a*y(t).

Resta provar que esta é a única solução:

Seja x(t) uma solução ==> x'(t) = a*x(t).

Considere u(t) = x(t)*e^(-at). Derivando em relação a t vem:
u'(t) = x'(t)*e^(-at) - a*x(t)*e^(-at)

Levando em conta que x'(t) = a*x(t), teremos:
u'(t) = a*x(t)*e^(-at) - a*x(t)*e^(-at) = 0  ==>
u(t) = b = constante  ==>
x(t)*e^(-at) = b ==>
x(t) = b*e^at ==>
ln(x(t)) = ln(b) + at = at + K1, onde K1 é uma constante real.

Logo, se x(t) é uma solução de x'(t) = a*x(t), então necessariamente
ln(x(t)) tem a forma acima.

Um abraço,
Claudio.

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