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Tenho três dúvidas, vejam: 1ª) Um segmento de reta é um exemplo de um corpo UNI-dimensional. Um retângulo é um exemplo de um corpo BI- dimensional.tetraedro é um exemplo de um corpo TRI-dimensional. E corpos TETRA, PENTA Um , HEXA-dimensionais, ou generalizando N-dimensionais como podem ser vistos na natureza ou em termos abstratos se for o caso? Para 4 ou mais dimensões, o mais simples é usar n-uplas ordenadas de
números reais para representar pontos no espaço n-dimensional.
Assim, um hiper-cubo de 4 dimensões e aresta = 2 teria por vértices os 16
pontos da forma (+/-1,+/-1,+/-1,+/-1).
Na natureza eu não conheço nenhum exemplo além do espaço-tempo de 4
dimensões (uma delas é o tempo) no qual nós vivemos - vide qualquer livro sobre
teoria da relatividade. No entanto, existem teorias que dizem que o universo tem
na verdade 10 ou 26 dimensões, mas as 6 ou 22 restantes estão tão "curled up"
(enroladinhas) que nós não conseguimos percebê-las.
2ª) Eu tinha visto na net há algumas semanas atrás um site (em inglês, mas
não me lembro o endereço) que dava uma demonstração geométrica (analítica) do
número imaginário "i". A única coisa que me lembro, foi que a demonstração foi
feita a partir dos eixos cartesianos e havia uma relação com o ponto P (-1,0).
Há pouco tempo atrás aqui na lista houve algumas mensagens explicando muito bem
a parte histórica do número "i" e dos números complexos, mas vocês não falaram
nada de demonstrações. A única coisa mais próxima disso foi quando disseram que
o número "i" surgiu quando os matemáticos procuraram resolver a equação raiz
(-1) = ?. Mas ainda essa passagem eu classifico dentro do contexto histórico do
nº imaginário e complexo e não uma explicação matemática e "real"(real no
sentido não matemático).
Tem um bom artigo sobre isso no livro Meu Professor de Matemática do Elon
Lages Lima, publicado pela SBM, que fala da relação entre nos. complexos,
logaritmos, exponenciais e funções trigonométricas.
A meu ver, as propriedades mais importantes dos complexos são os
seguintes:
1) Além de se somarem como vetores, os complexos têm uma multiplicação com
uma interpretação geométrica muito clara, que envolve dilatação/contração e
rotação.
2) Inicialmente introduziu-se os complexos a fim de que todo polinômio
de 2o. grau com coeficientes reais tenha duas raízes. No
entanto, descobriu-se que eles eram suficientes para que qualquer polinômio
de grau n >= 1 e com coeficientes complexos tivesse n raízes. Esse
resultado é o Teorema Fundamental da Álgebra.
3) A extensão dos métodos do cálculo para o domínio dos complexos
revelou propriedades surpreendentes que não existem no domínio real. Isso
tem a ver com o fato de que a existência da derivada de uma função complexa é
uma condição muito mais forte do que a existência da derivada de uma função
real.
3ª) Uma outra dúvida sobre demosntrações:
Se algum leigo em matemática pedisse a mim ou a qualquer um de vcs para provar a existência do número Pi eu e muitos de vcs diriamos a ele para medir o comprimento de qualquer circunferência com uma fita métrica e então dividir o valor por 2*raio. (obs: Se ele não soubesse o que era raio era só explicar). Agora pergunto: É possível fazer uma demonstração semelhante (em termos de relação com o cotidiano) com o logaritmo neperiano (natural) ? Medir uma circunferência com uma fita métrica não prova a existência de Pi.
No máximo dá uma aproximação para o seu valor real.
Pi pode ser definido como a razão entre o comprimento de uma circunferência
e o seu diâmetro. No entanto, primeiro temos que provar que, para toda e
qualquer circunferência, a razão entre o comprimento e o diâmetro é
constante.
A existência de Pi, e, ou de qualquer número real é uma consequência do do fato de o conjunto dos reais constituir um (de fato, o único) corpo ordenado completo. Assim, por exemplo, "e" pode ser definido como o número real tal que:
e
INTEGRAL dx/x = 1.
1
Pode-se provar (com base no "completamento" dos reais) que essa integral
converge para um número real, que se convencionou chamar de "e" (acho que foi
Euler que deu este nome).
Além disso, pode-se provar que "e" também é o limite das sequências:
An = (1 + 1/n)^n
ou
Bn = 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n!.
Um abraço,
Claudio.
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