Re: [obm-l] Desigualdade estranhinha

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro JP e demais colegas:

 

Falei besteira. A expressão continua ilimitada.

 

Defina os A(i)'s como se segue (supondo n >= 8):

A(1) = -A  (A = no. real qualquer)

A(2) = -A

A(3) = 0

A(4) = A

A(5) = A

A(6) = 0

A(7) = 1

A(k) = 0 para 8 <=k <= n

 

De forma que:

A(1) + ... + A(n) = 1

e

A(1)*A(2) + ... + A(n-1)*A(n) + A(n)*A(1) = 2*A^2  ==> ilimitada superiormente

 

Por favor, desconsidere o escrito abaixo.

 

Um abraço,

Claudio.

 

----- Original Message -----

From: Cláudio (Prática)

To: obm-l@mat.puc-rio.br

Sent: Wednesday, February 19, 2003 4:30 PM

Subject: Re: [obm-l] Desigualdade estranhinha

Caro JP:

 

Então, o problema é:

 

Maximizar a_1*a_2+a_2*a_3+a_3*a_4+.....+a_(n-1)*an+a_n*a_1 sabendo que a soma dos a's e 1.

 

Nesse caso, acho que cabe a desigualdade do rearranjo:

 

Suponhamos s.p.d.g. que A(1) <= A(2) <= ... <= A(n).

 

Pela desig. do rearranjo, vale:

 

A(1)*A(2) + ... + A(n-1)*A(n) + A(n)*A(1) <= A(1)^2 + ... + A(n)^2, com igualdade se e somente se os A(i)'s são todos iguais.

 

Como a soma deles é 1, eles serão todos iguais a 1/n ==>

 

o valor máximo procurado é igual a n * (1/n)^2 = 1/n.

 

Repare que não foi necessário supor que os A(i)'s são positivos, pois a desig. do rearranjo não necessita dessa hipótese.

 

Um abraço,

Claudio.