Re: [obm-l] Dois belos problemas

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Paulo:

Aqui vai minha solução para o primeiro.

> (1-ASIATICO PACIFICO) Seja S o conjunto de todos os triangulos ABC que
teem
> um mesma base fixa AB e altura relatica a AB (tracada de C) constante e
> igual a H. Para quais destes triangulos o produto de suas alturas e maximo
?

Sejam a, b e c as medidas dos lados BC, AC e AB, respectivamente.
Sejam Ha e Hb as medidas das alturas relativas aos vértices A e B,
respectivamente.

m(AB) = c ==> [ABC] = (1/2)*c*H = constante ==> H = 2*[ABC]/c

Analogamente:  Ha = 2*[ABC]/a   e   Hb = 2*[ABC]/b

Seja P = H*Ha*Hb =  8*[ABC]^3/(a*b*c), onde [ABC] e c são constantes.

Assim P é máximo <==> a*b é mínimo

Se o ângulo ABC for obtuso, então a*b não será máximo, pois neste caso
teríamos que o triângulo ABC', retângulo em B teria m(AC') < b e m(BC') = H
< a. Logo ABC é agudo ou reto. Analogamente , BAC é agudo ou reto.

Seja x = distância do pé da altura baixada de C até o ponto médio de AB (x >
0 se o pé está à direita do ponto médio).

Então, por Pitágoras, teremos:
a^2 = (c/2 - x)^2 + H^2     e     b^2 = (c/2 + x)^2 + H^2

Logo: a^2*b^2 = x^4 + 2*[H^2 - (c/2)^2]*x^2 + [H^2+(c/2)^2]^2

Se H >= c/2, então a^2*b^2 (e, portanto, a*b) será mínimo se x = 0
Nesse caso, ABC será isósceles, com AC = BC.

Se H < c/2, então a*b será mínimo se x = raiz[(c/2)^2 - H^2] ou x
= -raiz[(c/2)^2 - H^2]
Nesse caso, existem dois triângulos possíveis, cada um com o pé da altura
baixada de C a uma distância de raiz[(c/2)^2 - H^2] do ponto médio de AB.

Um abraço,
Claudio.

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