Re: [obm-l] Dois belos problemas

["Cl�udio \(Pr�tica\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Paulo:

Aqui vai minha solu��o para o primeiro.

> (1-ASIATICO PACIFICO) Seja S o conjunto de todos os triangulos ABC que
teem
> um mesma base fixa AB e altura relatica a AB (tracada de C) constante e
> igual a H. Para quais destes triangulos o produto de suas alturas e maximo
?

Sejam a, b e c as medidas dos lados BC, AC e AB, respectivamente.
Sejam Ha e Hb as medidas das alturas relativas aos v�rtices A e B,
respectivamente.

m(AB) = c ==> [ABC] = (1/2)*c*H = constante ==> H = 2*[ABC]/c

Analogamente:  Ha = 2*[ABC]/a   e   Hb = 2*[ABC]/b

Seja P = H*Ha*Hb =  8*[ABC]^3/(a*b*c), onde [ABC] e c s�o constantes.

Assim P � m�ximo <==> a*b � m�nimo

Se o �ngulo ABC for obtuso, ent�o a*b n�o ser� m�ximo, pois neste caso
ter�amos que o tri�ngulo ABC', ret�ngulo em B teria m(AC') < b e m(BC') = H
< a. Logo ABC � agudo ou reto. Analogamente , BAC � agudo ou reto.

Seja x = dist�ncia do p� da altura baixada de C at� o ponto m�dio de AB (x >
0 se o p� est� � direita do ponto m�dio).

Ent�o, por Pit�goras, teremos:
a^2 = (c/2 - x)^2 + H^2     e     b^2 = (c/2 + x)^2 + H^2

Logo: a^2*b^2 = x^4 + 2*[H^2 - (c/2)^2]*x^2 + [H^2+(c/2)^2]^2

Se H >= c/2, ent�o a^2*b^2 (e, portanto, a*b) ser� m�nimo se x = 0
Nesse caso, ABC ser� is�sceles, com AC = BC.

Se H < c/2, ent�o a*b ser� m�nimo se x = raiz[(c/2)^2 - H^2] ou x
= -raiz[(c/2)^2 - H^2]
Nesse caso, existem dois tri�ngulos poss�veis, cada um com o p� da altura
baixada de C a uma dist�ncia de raiz[(c/2)^2 - H^2] do ponto m�dio de AB.

Um abra�o,
Claudio.

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