|
Suponha que y = A0 + A1*x + A2*x^2 + .... + An*x^n
+ ....
Então:
y' = A1 + 2*A2*x + 3*A3*x^2 + ... + n*An*x^(n-1) +
...
y'' = 2*A2 + 6*A3*x + 12*A4*x^2 + ... +
n*(n-1)*An*x^(n-2) + ...
Tratemos da primeira equação:
y'' + x^2*y = 0 ==>
2*A2 + 6*A3*x + ... + n*(n-1)*An*x^(n-2) + ... +
x^2*(A0 + A1*x + A2*x^2 + .... + An*x^n + ....) = 0 ==>
2*A2 + 6*A3*x + [12*A4+A0]*x^2 + ... + [n*(n-1)*An
+ A(n-4)]*x^(n-2) + ... = 0
Ou seja:
2*A2 = 0 ==> A2 = 0
6*A3 = 0 ==> A3 = 0
12*A4 + A0 = 0 ==> A4 = -A0/12
20*A5 + A1 = 0 ==> A5 = -A1/20
30*A6 + A2 = 0 ==> A6 = -A2/30 =
0
42*A7 + A3 = 0 ==> A7 = -A3/42 =
0
56*A8 + A4 = 0 ==> A8 = -A4/56 = -(-A0/12)/56 =
A0/672
72*A9 + A5 = 0 ==> A9 = -A5/72 = -(-A1/20)/72 =
A1/1440
....
n*(n-1)*An + A(n-4) ==> An =
-A(n-4)/[n*(n-1)]
....
Dessas equações você vê que todos os coeficientes
podem ser expressos em função de A0 e A1 (o que faz sentido, pois trata-se de
uma equação de segunda ordem e, portanto, deve ter duas constantes de
integração).
Por exemplo, fazendo A0 = 1 e A1 = 0, você obtém
uma série cujos únicos coeficientes não nulos são os An com n múltiplo de
4.
Por outro lado, fazendo A0 = 0 e A1 = 1, você obtém
uma série cujos únicos coeficientes não nulos são os An com n da forma 4k + 1 (k
inteiro não negativo).
Naturalmente, as duas soluções representadas por
estas duas séries são LI.
Um abraço,
Claudio.
|