[obm-l] Re: [obm-l] RE: Função uniformemente diferenciável e outros tópicos

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Artur:

Obrigado pelos comentários.

Em relação ao item (2), será que um exemplo do fenômeno que você menciona (o
fato de f ser diferenciável em I não garante que f' seja Riemann integrável
em sub-intervalos fechados de I) seria a nossa velha amiga:
f(x) = x^2*sen(1/x) se x<>0 e f(0) = 0 ?

Já que se uma função é contínua, então ela é Riemann-integrável, teremos,
pelo contrapositivo,
que se ela não for Riemann-integrável, então ela não será contínua. E a
nossa amiga é diferenciável mas f' é descontínua em x = 0.

Um outro ponto sobre o qual eu estou em dúvida é o seguinte:

É verdade que se f' não é limitada num intervalo I, então, para todo K > 0,
existirão x e y em I, com x < y,
tais que para todo t entre x e y, f'(t) > K ?

Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "Artur Costa Steiner" <artur@opendf.com.br>
To: <artur@opendf.com.br>; <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, February 12, 2003 3:06 AM
Subject: [obm-l] RE: Função uniformemente diferenciável e outros tópicos


> Boa noite, Cláudio e demais amigos
>
> A sua demonstração em (1) está perfeita. Suas idéias foram expostas com
> extrema clareza, poderiam muito bem estar num livro de Análise Real.
>
> Dos itens 3 em diante, tudo OK na minha opinião
>
> No item (2), condição de Lipschitz, chamo apenas a atenção para uma
> condição restritiva introduzida: o fato de f ser diferenciável em I não
> garante que f' seja Riemann integrável em sub-intervalos fechados de I
> (muita gente acha que isto é automático, mas na realidade não é). Se,
> porém, assumirmos tal integrabilidade, creio que sua prova está correta.
> Uma outra prova, que não se basia na integral, é a seguinte:
>
> Suponhamos que f seja diferenciável em I e que, além disto, satisfaça em
> I à  condição de Lipischitz.  Existe então K>0 tal que |f(x) - f(y)| <=
> K|x-y| para todos x, y em I . Logo, se x<>y , então |f(x) - f(y)|/(x-y)
> <= K. No primeiro membro desta desigualdade, façamos y -> x. Como f é
> diferenciável, este primeiro membro tende a |f'(x)| (pois o valor
> absoluto é uma função contínua). Pelas propriedades dos limites de
> funções reais, temos então que    |f'(x)|<= K. Como x é arbitrário,
> concluímos que f' é limitada em I pela constante K.
>
> Suponhamos agora, por outro lado, que f seja diferenciável em I e que f'
> seja limitada em I. Existe então K>0 tal que |f'(u)| <=K (a) para todo u
> em I. Dados quaisquer x e y em I, o T. Do Valor Médio aplica-se ao
> intervalo fechado de pontos extremos x e y. Existe portanto z entre x e
> y tal que f(x) - f(y) = f'(z) (x-y). Logo |f(x) - f(y)| = |f'(z)| |x-y|,
> igualdade que, em virtude de (a) (pois z sempre está em I) nos mostra
> que  |f(x) - f(y)| <= K  |x-y|. Logo, f obedece à condição de Lipschitz.
> Observe que podemos sempre tomar K = supremo {|f'(u)| : u pertence a I}.
> Observamos também que, se I= [a, b], então basta assumir
> diferenciabilidade em (a, b) e continuidade nos extremos a e b.
>
> Como exemplo, seja f(x) = raiz(x) e I = [a, infinito), para a>0. Temos
> que f'(x) = 1/[2*raiz(x)] e que supremo {|f'(x)| : x em I} =
> 1/[2*raiz(a)]. Logo, qualquer que seja a>0, f satisfaz à condição de
> Lipischitz em [a , infinito) com constante K= 1/[2*raiz(a)]. Observamos,
> entretanto, que se a ->0+ então 1/[2*raiz(a)] -> +infinto, logo não
> podemos extender a conclusão para [0, infinito) e , nem mesmo, para (a,
> infinito)
>
> Por hoje é só. Por uma questão de espaço, tive que deletar a mensagem
> original.
> Um abraço para todos.
> Artur
>
>
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