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a^4 + b^4 =
a^4 + b^4 + 2*a^2*b^2 - 2*a^2*b^2 =
(a^2 + b^2)^2 - [a*b*raiz(2)]^2 =
[ a^2 + b^2 + a*b*raiz(2) ]*[ a^2 + b^2 - a*b*raiz(2) ]
Assim:
(a^4 + b^4)^(1/4) =
raiz[ raiz(a^4 + b^4) ] =
raiz( raiz[ a^2 + b^2 + a*b*raiz(2) ] * raiz[ a^2 + b^2 - a*b*raiz(2)
] ) =
raiz ( x * y )
onde:
x = raiz[ a^2 + b^2 + a*b*raiz(2) ]
e
y = raiz[ a^2 + b^2 - a*b*raiz(2) ]
Construção de x:
Construa um triângulo de lados a e b e ângulo compreendido igual a 135
graus. Pela lei dos cossenos, x é o comprimento do lado oposto àquele
ângulo.
Construção de y:
Construa um triângulo de lados a e b e ângulo compreendido igual a 45
graus. Pela lei dos cossenos, y é o comprimento do lado oposto àquele
ângulo.
Depois, basta construir a média geométrica de x e y = altura de um
triângulo retângulo cuja hipotenusa mede x+y, a partir do ponto distante x de
uma das extremidades desta hipotenusa.
Para construir o ângulo de 45 graus basta construir um quadrado de
lado a, uma de suas diagonais, e marcar uma distância igual a b nesta diagonal,
a partir do ponto onde ela encontra o lado a. O de 135 graus é o
suplementar.
Um abraço,
Claudio.
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