[obm-l] Re: [obm-l] Truângulos não-obtusângulos

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Claudio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

O que importa e a ideia ... Como se pode observar abaixo, o unico 
conhecimento realmente necessario e saber - como sabem todos os bons alunos 
da 7 serie - que NUM TRIANGULO NAO OBTUSANGULO O QUADRADO DE QUALQUER LADO 
E, NO MAXIMO, IGUAL A SOMA DOS QUADRADOS DOS OUTROS DOIS LADOS.

Alem disso, so e necessario ter a coragem de pensar e errar tantas vezes 
quantas forem necessarias ate esclarecer o enigma. Nunca e vergonhoso errar, 
quando estamos tentamos acertar. Claramente que so nao erram Deus e os 
Imbecis. Como diria Schiller : "Oh discipulo covarde ! Rompe a inercia e a 
sonolencia e engolfa-te brioso no arrebol que anteves !"

A questao seguinte foi proposta pelo *Conway em outra lista :

Seja f(x)=x^2 + x + 1. Prove que para todo numero natural N > 1, os numeros 
f(N), f(f(N)), f(f(f(N))), f(f(f(f(N)))), ... sao dois a dois primos entre 
si.

Um Abraco
Paulo Santa Rita
3,1752,040203

*Ou foi pelo Conway ou foi pelo Katz. Nao me lembro ao certo.

>From: "Cláudio \(Prática\)" <claudio@praticacorretora.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: [obm-l] Truângulos não-obtusângulos
>Date: Tue, 4 Feb 2003 17:10:04 -0200
>
>Caro Paulo:
>
>Segue minha solução para o seguinte problema. Acho que a minha idéia 
>inicial
>é correta, mas posso ter me enrolado nas somas no final...
>
>Num conjunto de 100 numeros naturais, dois a dois distintos, verifica-se 
>que
>quaisquer 3 numeros ( iguais ou nao ) podem ser os lados de um triangulo 
>nao
>obtusangulo ( que nao tem um angulo maior que 90 graus ). Seja A a soma de
>todos os perimetros de todos os triangulos ( isosceles, equilateros e
>escalenos ) que podem ser construidos com estes 100 numeros. Qual o valor
>minimo que A pode ter ?
>
>Chame o conjunto de X, e suponha que seus elementos estão ordenados:
>a1 < a2 < ... < a100.
>
>O triângulo com lados (a1,a1,a100) é não-obtusângulo ==> todos os outros
>triângulos são não-obtusângulos e, além disso:
>a100^2 = a1^2 + a1^2 - 2*a1^2*cos(A) <= a1^2 + a1^2 - 2*a1^2*cos(Pi/2) =
>a1^2 + a1^2  ==>
>a100 <= a1*raiz(2)
>
>A menor soma dos perímetros irá corresponder aos menores lados. Isso 
>implica
>que os elementos de X são naturais consecutivos e a1 é o menor natural N 
>tal
>que N+99 <= N*raiz(2)  ==>
>(N+99)^2 <= 2*N^2  ==>
>N^2 - 198*N - 9801 >= 0  ==>
>N >= 99 + 99*raiz(2) ==> N = 240
>
>Assim, X = {240, 241, ..., 339 }  ==>
>S = soma dos elementos de X = 28.950.
>
>Sejam:
>E = soma dos perímetros dos equiláteros
>I = soma dos perímetros dos isósceles não-equiláteros
>C = soma dos perímetros dos escalenos
>
>Então:
>E = 3*S = 86.850
>I = 99*2*S + 100*S - S = 297*S = 8.598.150
>C = C(99,2)*S = 4.851*S = 140.436.450
>
>Logo, A >= E + I + C = 149.121.450
>
>
>Um abraço,
>Claudio.
>
>
>
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