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Re: [obm-l] O armario e o corredor

To: <obm-l@xxxxxxxxxxxxxx>
Subject: Re: [obm-l] O armario e o corredor
From: "Wagner" <timpa@xxxxxxxxxx>
Date: Mon, 3 Feb 2003 11:03:18 -0200
Organization: Wagner
References: <Pine.GSO.4.21.0301311153140.15998-100000@mafalda> <00ec01c2c954$7702c020$3300c57d@bovespa.com>
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Oi para todos!

Mas ai você está assumindo que o eixo de rotação é conhecido, o que não é
dito
no enunciado.

André T.

----- Original Message -----
From: "Cláudio (Prática)" <claudio@praticacorretora.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, January 31, 2003 4:13 PM
Subject: Re: [obm-l] O armario e o corredor


> Caros Salvador e Paulo:
>
> Tenho a impressão de que o retângulo de maior área que efetivamente faz a
> curva sofrendo uma rotação de 90 graus é um quadrado de lado 1/raiz(2)
(área
> = 1/2). Se não for necessário que o retêngulo sofra uma rotação, então o
> quadrado de lado 1 é um candidato melhor - ele apenas muda a direção de
seu
> deslocamento.
>
> No entanto, o candidato mais forte que eu consegui imaginar é um
semicírculo
> de raio 1 (área Pi/2).
>
> Claudio.
>
> ----- Original Message -----
> From: "Salvador Addas Zanata" <sazanata@ime.usp.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Friday, January 31, 2003 12:03 PM
> Subject: Re: [obm-l] O armario e o corredor
>
>
>
> Oi Paulo,
>
>
> Encontrei esse problema num livrinho chamado "Unsolved Problems in
> Geometry", ou coisa parecida. Eh da editora Springer. O livro e bem legal,
> tem um colecao enorme de problemas "intuitivos", todos MUITO dificeis.
>
> Faz bastante tempo que li, mas pelo que me lembro, o Conway provou que
> esse maximo existe, mas o valor exato nao e conhecido. Ele deu tambem
> estimativas e sugeriu formas para
> este objeto (formas parecidas com alteres, coisa razoavelmente natural).
>
> Imagino que os metodos sejam variacionais, mas nao vi nada sobre esse
> problema. Se voce morar em Sao Paulo, na biblioteca do IMEUSP, voce
> encontrara esse livro. Em cada problema, sao citadas referencias com
> resultados parciais.
>
>
> Boa sorte,
>
> Salvador
>
>
>
> On Fri, 31 Jan 2003, Paulo Santa Rita wrote:
>
> > Hi Salvador e demais
> > colegas desta lista ... OBM-L,
> >
> > Gostei do problema. Voce pode falar mais um pouco sobre ele ? Se eu
> > resolve-lo ou conseguir algum progresso significativo mostro ao Conway e
> > publico aqui nesta lista.
> >
> > Desde agradeco.
> >
> > Um abraco
> > Paulo Santa Rita
> > 6,1043,310103
> >
> > >From: Salvador Addas Zanata <sazanata@ime.usp.br>
> > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > >Subject: Re: [obm-l] O armario e o corredor
> > >Date: Thu, 30 Jan 2003 22:45:50 -0200 (EDT)
> > >
> > >
> > >
> > >Caros amigos,
> > >
> > >Um problema pelo que eu sei, em aberto, relacionado a esse consiste no
> > >seguinte:
> > >
> > >Dado um corredor com 1 metro de largura, que faz uma "curva" de 90
graus
> e
> > >continua com a mesma largura, qual e a maior area possivel que pode
fazer
> > >essa curva? Observe que o formato dessa area pode ser qualquer, e
> > >obviamente ela e suposta rigida. E claro que o maior segmento que essa
> > >area contem e limitado, mas isso nao ajuda muito.
> > >
> > >O John Conway fez algumas coisas parciais sobre isso.
> > >
> > >
> > >Abraco,
> > >
> > >
> > >Salvador
> > >
> > >
> > >
> > >On Thu, 30 Jan 2003, Paulo Santa Rita wrote:
> > >
> > > > Ola Claudio e demais
> > > > colegas desta lista ... OBM-L,
> > > >
> > > > Resposta correta ! Com sinceridade alertei que o problema, nao
> obstante
> > > > simples, tinha uma solucao surpreendente !
> > > >
> > > > Em verdade esse problema me foi sugerido em uma mudanca la em casa,
> > >quando
> > > > eu ainda era menino : meu pai e tios tentavam arrastar um grande
> armario
> > > > atraves de um corredor em forma de "L", quando entao os sucessivos
> > >fracassos
> > > > os levaram a suspeitar que era impossivel, sem saberem justificar.
> > > >
> > > > Provando ( Garantindo ! Ele nao conhecem Calculo. ) que era
> impossivel,
> > >eu
> > > > os convenci a desmontarem o armario, previamente. So depois de
muitos
> > >anos
> > > > vim a saber que havia um problema de Calculo Diferencial muito
> parecido.
> > > >
> > > > Eu nao acompanhei todos os calculos que voce efetuou, mas a ideia
> > >contida no
> > > > fragmento abaixo esta correta e e o "insight" que mata a questao. Se
> > > > eventualmente houver algum erro no algebrismos ( na burocracia ) e
sem
> > > > duvida apenas uma desatencao.
> > > >
> > > > Vou propor agora um problema que nao e facil. Para que ele possa ser
> > > > digerido, vou coloca-lo na forma de sub-problemas :
> > > >
> > > > PROBLEMA : Seja Q um quadrado de lado unitario. Mostre que, qualquer
> que
> > > > seja a forma como colocarmos no interio de Q dois outros quadrados
de
> > >lados
> > > > L1 e L2, se L1 + L2 > 1 entao estes dois outros quadrados terao ao
> menos
> > >um
> > > > ponto em comum.
> > > >
> > > > Esse e um dos problemas do Paul Erdos. Ja foi proposto aqui nesta
> lista.
> > > > A ideia e encontrar uma demonstracao rigorosa, analitica, que nao
> lance
> > >mao
> > > > de intuicoes geometricas contestaveis.
> > > >
> > > > SUGESTAO : Podemos representar Q como a regiao do R^2 na qual as
> > >coordenas
> > > > (X,Y) de qualquer ponto obedece as condicoes :
> > > >
> > > > 0 =< X =< 1
> > > > 0 =< Y =< 1
> > > >
> > > > Precisamos encontrar uma maneira de garantir que os quadrados de
lados
> > >L1 e
> > > > L2 estejam confinados em Q. Convencionemos, pois, que :
> > > >
> > > > 1) O quadrado de lado L1 (L2) tem vertices ABCD (EFGH) com o lado AD
> > >(EH)
> > > > inclinado de ALF (BET) em relacao aos eixo das abscissas.
> > > > 2) "A" ("E") e o vertice de menor ordenada. Se dois vertices tiverem
a
> > >mesma
> > > > menor ordenada, "A" ("E") sera o de menor abscissa
> > > > 3) As coordenadas de um vertice serao indexadas pela letra do
vertice
> > >que
> > > > representam. Assim : A=(Xa,Ya), E=(Xe,Ye)
> > > >
> > > > Note que acima fizemos tao somente convencoes, vale dizer, essas
> > >notacoes
> > > > nao impoe nenhuma restricao a generalidade que o problema requer,
dado
> > >que
> > > > serao adotadas apos o "desenho" dos quadrados. por outro lado, e
claro
> > >que :
> > > > 0 =< ALF,BET < pi/2.
> > > >
> > > > Isto posto, adotamos qualquer vertice como referencia e exprimimos
os
> > >demais
> > > > em funcao dele. Assim ( adotando "A" como origem ) :
> > > >
> > > > D-A=L1*(cos(ALF),sen(ALF))
> > > > C-A=L1*(cos(ALF)-sen(ALF),cos(ALF)+sen(ALF))
> > > > B-A=L1*(-sen(ALF),cos(ALF))
> > > >
> > > > Substituindo os vertices por suas coordenadas, exprimindo todas em
> > >funcao
> > > > das coordenadas do vertice "A" e lembrando que estes vertices devem
> > >estar na
> > > > regiao Q, isto e, entre 0 e 1, a intersecao das inequecoes
resultantes
> > > > fornecera :
> > > >
> > > > L1*sen(ALF) =< Xa =< 1 - L1*cos(ALF)
> > > > 0 =< Ya =< 1 - L1*(sen(ALF) + cos(ALF))
> > > >
> > > > Estas sao as CONDICOES DE CONFINAMENTO, vale dizer, qualquer que
seja
> L1
> > >e
> > > > qualquer que seja L1, as coordenadas do vertice "A" devem satisfazer
> as
> > > > condicoes acima para que o quadrado ABCD esteja contido na regiao Q.
> > > > Claramente que uma relacao analogo vale para o quadrado EFGH, isto e
:
> > > >
> > > > L2*sen(BET) =< Xe =< 1 - L2*cos(BET)
> > > > 0 =< Ye =< 1 - L2*(sen(BET) + cos(BET))
> > > >
> > > > Bom, agora nos temos quase tudo para dar uma solucao elegante ao
> > >problema do
> > > > Erdos. Vamos mostrar que L1+L2 > 1 e contaditorio com as condicoes
de
> > > > confinamento.
> > > >
> > > > PRIMEIRO SUB-PROBLEMA : Prove que existe um intervalo fechado [m,n],
> > >[m,n]
> > > > contido em [0,1], tal que qualquer reta vertical X=K que passa por
> [m,n]
> > > > passa tambem no interior dos dois quadrados.
> > > >
> > > > SUGESTAO : Observe que provar a afirmacao acima e o mesmo que dizer
> que
> > >os
> > > > quadrados tem pontos com a mesma abscissa. Para provar isso suponha
> que
> > >Xa e
> > > > diferente de Xe ( Se Xa = Xe, X=Xa e uma reta que atende as
condicoes
> e
> > >a
> > > > demonstracao esta conluida ). Sem perda de generalidade suponha Xa <
> Xe.
> > > > Calcule a abscissa do ponto de maior abscissa de ABCD e a abscissa
do
> > >ponto
> > > > de menor abscissa de EFGH. Monte dois intervalos : [Xa, maior
> abscissa],
> > > > [menor abscissa, Xe]. Prove que se L1+L2 > 1 os intervalos nao podem
> ser
> > > > disjuntos.
> > > >
> > > > O segundo sub-problema e tomar todas as retas que passam pela regiao
> de
> > > > mesmas abscissas e mostrar que alguma(s) passa(m) SIMULTANEAMENTE no
> > > > interior dos dois quadrados, vale dizer, vamos analiticamente "subir
a
> > >reta"
> > > > e ver o que acontece la em cima
> > > >
> > > > Um Abraco a todos !
> > > > Paulo Santa Rita
> > > > 5,1802,300103
> > > >
> > > > >From: "Cláudio \(Prática\)" <claudio@praticacorretora.com.br>
> > > > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > > > >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > > > >Subject: Re: [obm-l] O armario e o corredor
> > > > >Date: Thu, 30 Jan 2003 15:53:36 -0200
> > > > >
> > > > >Caro Paulo e demais colegas da lista:
> > > > >
> > > > >O maior comprimento de vareta que pode fazer a curva é igual ao
> > > > > >comprimento do menor segmento com extremidades em OA e OB que
> > >contenha
> > > > > >O'. Suponha que o segmento seja MN, com M em OA e N em OB.
> > > >
> > > >
> > > > _________________________________________________________________
> > > > MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil.  http://www.hotmail.com
> > > >
> > > >
> >
>=========================================================================
> > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > > > O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
> > > >
> >
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> > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > >O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
> >
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