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Re: [obm-l] O armario e o corredor

To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Subject: Re: [obm-l] O armario e o corredor
From: Salvador Addas Zanata <sazanata@xxxxxxxxxx>
Date: Fri, 31 Jan 2003 12:03:23 -0200 (EDT)
In-Reply-To: <F575aF2KhiQgExL6vp40001252a@hotmail.com>
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Oi Paulo,


Encontrei esse problema num livrinho chamado "Unsolved Problems in
Geometry", ou coisa parecida. Eh da editora Springer. O livro e bem legal,
tem um colecao enorme de problemas "intuitivos", todos MUITO dificeis.

Faz bastante tempo que li, mas pelo que me lembro, o Conway provou que
esse maximo existe, mas o valor exato nao e conhecido. Ele deu tambem
estimativas e sugeriu formas para
este objeto (formas parecidas com alteres, coisa razoavelmente natural).

Imagino que os metodos sejam variacionais, mas nao vi nada sobre esse
problema. Se voce morar em Sao Paulo, na biblioteca do IMEUSP, voce
encontrara esse livro. Em cada problema, sao citadas referencias com
resultados parciais.


Boa sorte,

Salvador



On Fri, 31 Jan 2003, Paulo Santa Rita wrote:

> Hi Salvador e demais
> colegas desta lista ... OBM-L,
> 
> Gostei do problema. Voce pode falar mais um pouco sobre ele ? Se eu 
> resolve-lo ou conseguir algum progresso significativo mostro ao Conway e 
> publico aqui nesta lista.
> 
> Desde agradeco.
> 
> Um abraco
> Paulo Santa Rita
> 6,1043,310103
> 
> >From: Salvador Addas Zanata <sazanata@ime.usp.br>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >Subject: Re: [obm-l] O armario e o corredor
> >Date: Thu, 30 Jan 2003 22:45:50 -0200 (EDT)
> >
> >
> >
> >Caros amigos,
> >
> >Um problema pelo que eu sei, em aberto, relacionado a esse consiste no
> >seguinte:
> >
> >Dado um corredor com 1 metro de largura, que faz uma "curva" de 90 graus e
> >continua com a mesma largura, qual e a maior area possivel que pode fazer
> >essa curva? Observe que o formato dessa area pode ser qualquer, e
> >obviamente ela e suposta rigida. E claro que o maior segmento que essa
> >area contem e limitado, mas isso nao ajuda muito.
> >
> >O John Conway fez algumas coisas parciais sobre isso.
> >
> >
> >Abraco,
> >
> >
> >Salvador
> >
> >
> >
> >On Thu, 30 Jan 2003, Paulo Santa Rita wrote:
> >
> > > Ola Claudio e demais
> > > colegas desta lista ... OBM-L,
> > >
> > > Resposta correta ! Com sinceridade alertei que o problema, nao obstante
> > > simples, tinha uma solucao surpreendente !
> > >
> > > Em verdade esse problema me foi sugerido em uma mudanca la em casa, 
> >quando
> > > eu ainda era menino : meu pai e tios tentavam arrastar um grande armario
> > > atraves de um corredor em forma de "L", quando entao os sucessivos 
> >fracassos
> > > os levaram a suspeitar que era impossivel, sem saberem justificar.
> > >
> > > Provando ( Garantindo ! Ele nao conhecem Calculo. ) que era impossivel, 
> >eu
> > > os convenci a desmontarem o armario, previamente. So depois de muitos 
> >anos
> > > vim a saber que havia um problema de Calculo Diferencial muito parecido.
> > >
> > > Eu nao acompanhei todos os calculos que voce efetuou, mas a ideia 
> >contida no
> > > fragmento abaixo esta correta e e o "insight" que mata a questao. Se
> > > eventualmente houver algum erro no algebrismos ( na burocracia ) e sem
> > > duvida apenas uma desatencao.
> > >
> > > Vou propor agora um problema que nao e facil. Para que ele possa ser
> > > digerido, vou coloca-lo na forma de sub-problemas :
> > >
> > > PROBLEMA : Seja Q um quadrado de lado unitario. Mostre que, qualquer que
> > > seja a forma como colocarmos no interio de Q dois outros quadrados de 
> >lados
> > > L1 e L2, se L1 + L2 > 1 entao estes dois outros quadrados terao ao menos 
> >um
> > > ponto em comum.
> > >
> > > Esse e um dos problemas do Paul Erdos. Ja foi proposto aqui nesta lista.
> > > A ideia e encontrar uma demonstracao rigorosa, analitica, que nao lance 
> >mao
> > > de intuicoes geometricas contestaveis.
> > >
> > > SUGESTAO : Podemos representar Q como a regiao do R^2 na qual as 
> >coordenas
> > > (X,Y) de qualquer ponto obedece as condicoes :
> > >
> > > 0 =< X =< 1
> > > 0 =< Y =< 1
> > >
> > > Precisamos encontrar uma maneira de garantir que os quadrados de lados 
> >L1 e
> > > L2 estejam confinados em Q. Convencionemos, pois, que :
> > >
> > > 1) O quadrado de lado L1 (L2) tem vertices ABCD (EFGH) com o lado AD 
> >(EH)
> > > inclinado de ALF (BET) em relacao aos eixo das abscissas.
> > > 2) "A" ("E") e o vertice de menor ordenada. Se dois vertices tiverem a 
> >mesma
> > > menor ordenada, "A" ("E") sera o de menor abscissa
> > > 3) As coordenadas de um vertice serao indexadas pela letra do vertice 
> >que
> > > representam. Assim : A=(Xa,Ya), E=(Xe,Ye)
> > >
> > > Note que acima fizemos tao somente convencoes, vale dizer, essas 
> >notacoes
> > > nao impoe nenhuma restricao a generalidade que o problema requer, dado 
> >que
> > > serao adotadas apos o "desenho" dos quadrados. por outro lado, e claro 
> >que :
> > > 0 =< ALF,BET < pi/2.
> > >
> > > Isto posto, adotamos qualquer vertice como referencia e exprimimos os 
> >demais
> > > em funcao dele. Assim ( adotando "A" como origem ) :
> > >
> > > D-A=L1*(cos(ALF),sen(ALF))
> > > C-A=L1*(cos(ALF)-sen(ALF),cos(ALF)+sen(ALF))
> > > B-A=L1*(-sen(ALF),cos(ALF))
> > >
> > > Substituindo os vertices por suas coordenadas, exprimindo todas em 
> >funcao
> > > das coordenadas do vertice "A" e lembrando que estes vertices devem 
> >estar na
> > > regiao Q, isto e, entre 0 e 1, a intersecao das inequecoes resultantes
> > > fornecera :
> > >
> > > L1*sen(ALF) =< Xa =< 1 - L1*cos(ALF)
> > > 0 =< Ya =< 1 - L1*(sen(ALF) + cos(ALF))
> > >
> > > Estas sao as CONDICOES DE CONFINAMENTO, vale dizer, qualquer que seja L1 
> >e
> > > qualquer que seja L1, as coordenadas do vertice "A" devem satisfazer as
> > > condicoes acima para que o quadrado ABCD esteja contido na regiao Q.
> > > Claramente que uma relacao analogo vale para o quadrado EFGH, isto e :
> > >
> > > L2*sen(BET) =< Xe =< 1 - L2*cos(BET)
> > > 0 =< Ye =< 1 - L2*(sen(BET) + cos(BET))
> > >
> > > Bom, agora nos temos quase tudo para dar uma solucao elegante ao 
> >problema do
> > > Erdos. Vamos mostrar que L1+L2 > 1 e contaditorio com as condicoes de
> > > confinamento.
> > >
> > > PRIMEIRO SUB-PROBLEMA : Prove que existe um intervalo fechado [m,n], 
> >[m,n]
> > > contido em [0,1], tal que qualquer reta vertical X=K que passa por [m,n]
> > > passa tambem no interior dos dois quadrados.
> > >
> > > SUGESTAO : Observe que provar a afirmacao acima e o mesmo que dizer que 
> >os
> > > quadrados tem pontos com a mesma abscissa. Para provar isso suponha que 
> >Xa e
> > > diferente de Xe ( Se Xa = Xe, X=Xa e uma reta que atende as condicoes e 
> >a
> > > demonstracao esta conluida ). Sem perda de generalidade suponha Xa < Xe.
> > > Calcule a abscissa do ponto de maior abscissa de ABCD e a abscissa do 
> >ponto
> > > de menor abscissa de EFGH. Monte dois intervalos : [Xa, maior abscissa],
> > > [menor abscissa, Xe]. Prove que se L1+L2 > 1 os intervalos nao podem ser
> > > disjuntos.
> > >
> > > O segundo sub-problema e tomar todas as retas que passam pela regiao de
> > > mesmas abscissas e mostrar que alguma(s) passa(m) SIMULTANEAMENTE no
> > > interior dos dois quadrados, vale dizer, vamos analiticamente "subir a 
> >reta"
> > > e ver o que acontece la em cima
> > >
> > > Um Abraco a todos !
> > > Paulo Santa Rita
> > > 5,1802,300103
> > >
> > > >From: "Cláudio \(Prática\)" <claudio@praticacorretora.com.br>
> > > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > > >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > > >Subject: Re: [obm-l] O armario e o corredor
> > > >Date: Thu, 30 Jan 2003 15:53:36 -0200
> > > >
> > > >Caro Paulo e demais colegas da lista:
> > > >
> > > >O maior comprimento de vareta que pode fazer a curva é igual ao
> > > > >comprimento do menor segmento com extremidades em OA e OB que 
> >contenha
> > > > >O'. Suponha que o segmento seja MN, com M em OA e N em OB.
> > >
> > >
> > > _________________________________________________________________
> > > MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil.  http://www.hotmail.com
> > >
> > > 
> >=========================================================================
> > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > > O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
> > > 
> >=========================================================================
> > >
> >
> >=========================================================================
> >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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