[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Somas de séries

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Paulo e demais colegas da lista:

Sobre a soma de 1/(an+b)^2, eu gostaria de saber se é sempre algum múltiplo
racional (ou pelo menos algébrico) de Pi^2 e, em caso afirmativo, qual o seu
valor.

Quanto à sua questão:
NIC(1,1) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... = Ln(2)
e
1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 = Pi^2/6 = 1/6 * (Pi/Ln(2))^2 * NIC(1,1)^2

Ou seja, K = 1/6 * (Pi/Ln(2))^2, o que não tem cara de ser algébrico (muito
menos racional).

Por outro lado:
NIC(1,2) = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... = Pi/4
e
1/1^2 + 1/3^2 + 1/5^2 + 1/7^2 = Pi^2/8 = 2 * (Pi/4)^2 = 2 * NIC(1,2)^2  ==>
K = 2   !!!

Vale a mesma pergunta, com NIC(X,Y) no lugar de Pi^2.

Vou precisar pensar mais na questão da relação entre o triângulo de
Pascal(K,L) e o Harmônico(K,L).

Já localizei o livro Matemática Quântica - vou dar uma lida - mas, de
qualquer forma, acho pouco provável (pra ser bem otimista!!!) que eu chegue
a alguma conclusão sobre os zeros complexos de Z(r) = SOMA 1/n^r,
especialmente aqueles com parte real entre 0 e 1. Em particular que todos
têm parte real = 1/2. De qualquer forma, US$ 1 milhão mais uma Fields Medal
viriam bem a calhar....

De qualquer forma, também acho que tudo isso é muito interessante e não ligo
a mínima pra aplicações práticas.

Mudando um pouco de assunto, eu achei uma demonstração razoavelmente
elementar de que Z(3) = SOMA 1/n^3 é irracional.  Uma boa pergunta é: Z(3) é
um múltiplo racional ou algébrico de Pi^3 ?

Um abraço,
Claudio.


----- Original Message -----
From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Monday, January 27, 2003 6:50 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Somas de séries


Ola Claudio e demais
colegas desta lista  ... OBM-L,

A ultima pergunta e simples, em determinado sentido ... Use o MAPLE e voce
vera a soma para qualquer "1/(an+b)^2". Mas o MAPLE faz as coisas ao modo
dele, insatisfatorio em certo sentido ...

Por muitas razoes, eu precisei investigar as series da forma :

NIC(a,r)= 1/a  -  1/(a+r)  +  1/(a+2r)  -  1/(a+3r)  +  ...

Num certo sentido estas series sao "primitivas", vale dizer, supomos que a
funcao NIC : R^2 -> R ( NIC nao existe na literatura, eu fui obrigado a
reconhecer sua importancia ) esta bem definida e vemos o que se pode
produzir de interessante com elas. Claramente que a serie :

1/a  +  1/(a+r)  +  1/(a+2r)  +  1/(a+3r)  +  ... smepre diverge !

Mas a serie :

1/a^2  +  1/(a+r)^2  +  1/(a+2r)^2  +  1/(a+3r)^2  + ... sempre converge !
Que relacao existe entre o valor para o qual esta serie converge e NIC ?
Existe X e Y tais que :

1/a^2 + 1/(a+r)^2 + 1/(a+2r)^2 + 1/(a+3r)^2 + ... = K*(NIC(X,Y))^2 ?
Para algum K real ?

Claramente que existe alguns reordenamentos evidentes ...

( 1/a  -  1/(a+r) )  + ( 1/(a+2r)  -  1/(a+3r) )  +  ...

NIC serve para caracterizar uma classe de triangulos aritmeticos, conhecidos
como triangulos harmonicos. O exemplo mais simples serie :

1
1/2  1/2
1/3  1/6  1/3
1/4  1/12 1/12  1/4
...

Cada termo e a diferenca entre o que esta "acima a esquerda" e o que esta "a
esquerda". As colunas sao numeradas da esquerda para a direita a partir de
-1. O 1/2 da coluna -2 e tal que : 1/2 = 1 - 1/2. E assim para todos os
termos ... Se voce tomar uma coluna qualquer "desde o infinito" ate um
determinado termo, a soma e o termo da esquerda : e o teorema das colunas do
triangulo de pascal estendido a este tipo de triangulo ... Este triangulo e
conhecido tambem como triangulo de Leibniz.

Todo triangulo harmonico tem um numero que o caracteriza univocamente e que
e um valor de NIC. Em particular, no triangulo de Leibniz este valor de NIC
e Ln(2) ..., isto e, NIC(1,1) Um outro triangulo harmonico teria um outro
valor para NIC.

Pode-se dizer que os triangulos harmonicos sao extensoes dos triangulos
aritmeticos tipo triangulo de pascal. Eles sao como as colunas negativas
deste triangulo ...

Considere a relacao de recorrencia :
("n" e a coluna, "p" a linha )

A00  = 1
An,p = An-1,p-1 + An,p-1  n em {0,1,2,...} e p em {0,1,...,n}
Fixado sucessivamente  "n", varie "p". Voce vai obter o triangulo de pascal.
Para outros valores de A00 e outras relacoes de recorrencia da forma An,p=
K*An-1,p-1 + L*An,p-1 voce obetera outros triangulos aritmeticos "tipo
pascal". Observe que no triangulo de pascal K=L=1.

Existe alguma relacao entre K e L e o trianngulo harmonico  correspondente,
isto e, entre K, L que definem um triangulo "tipo pascal"  e NIC(K,L), que
caracteriza um triangulo harmonico  ?

Neste momento e imperioso que se perceba o seguinte :

No triangulo de Pascal quando nos olhamos para o N,P em Binom(N,P) nos quase
inadvertidamente imaginamos em "combinacoes de N elementos tomados P a P".
Mas, isto, e ... UMA INTERPRETACAO : nao e A INTERPRETACAO.  o Professor
NIColau deixa claro isso em seu livro sobre MATEMATICA QUANTICA. La ele diz
claramente que podemos, sem receios, dar outras interpretacoes aos numeros
binomias, que representariam outras formas de contagem ( as q-contagem ),
vale dizer, indices. A interpretacao que damos e, assim, uma contagem
particular, nao A CONTAGEM, A UNICA POSSIVEL !

Isto posto, a relacao de recorrencia implica claramente que estamos vemos os
N, P em BINOM(N,P) como LOCALIZACOES ou LUGARES em alguma estrutura mais
ampla, ou, o que da no mesmo, os valores de uma funcao definida em R^2.

Isto e muito bom, por diversas razoes ...

Seja r um real positivo. A funcao :

Z(r)=1/N^r, N={1,2,...} converge se r>1. r=2 e um caso particular de
Z(r)=1/N^r. Uma compreenssao destas coisas por este caminho pode abrir uma
vertente nova na abordagem deste fato para "r" complexo, em particular, para
os zeros desta funcao ...

Observe que esta e uma abordagem "por dentro", vale dizer, "por fora",
partindo diretamente de "r" complexo, muita gente ja tentou e nao teve
sucesso. Isso pode ser mais uma abordagem que sera mal-sucedida. Mas ...
pode ser ! Ate esclarecer estas coisas nos nao podemos advinhar o que vai
acontecer !

Francamente eu acho tudo isso interessante independente de uma orientacao
pratica qualquer, independente de qualquer novo resultado. Isso e
interessante simplesmente porque eu tenho certeza que algo misterioso e
profundo esta no fim deste arco-iris ...

Um abraco
Paulo Santa Rita
2,1849,270103










>From: "Cláudio \(Prática\)" <claudio@praticacorretora.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: [obm-l] Somas de séries
>Date: Mon, 27 Jan 2003 16:25:23 -0200
>
>Caro Paulo Santa Rita:
>
>Bem interessante essa questão da relação entre:
>
>R = SOMA A(n)    e     S = SOMA (-1)^(n+1)*n*A(n).
>
>onde A(n) = 1 / (An^2 + Bn + C), com A <> 0.
>
>Dado que quando A(n) = 1/n^2, R = Pi^2 / 6 e S = Ln(2), a relação deve ser
>extremamente não-trivial.
>
>Qual bibliografia você recomenda?
>
>Em particular, você conhece alguma fórmula para R e S quando:
>A(n) = 1 / (an + b)^2, com a e b inteiros?
>
>Um abraço,
>Claudio.
>
>*********************
>
>Seja A1, A2, ..., A3 um PA, isto e, Ai - Ai-1 = K, K # 0. Entao, pelo
>Teorema de Leibniz ( da Analise ), (1/A1) - (1/A2) + (1/A3) - ... converge.
>Converge pra onde ?  Isso vai depender da PA.  No seu caso :
>
>1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + (1/5) - ... = Ln(2)
>
>Outro caso bem conhecido e :
>
>S = 1 - (1/3) + (1/5) - (1/7) + (1/9) - ... = pi/4
>
>E uma relacao bem conhecida e que :
>
>1 + (1/2^2) + (1/3^2) + (1/4^2) + ... = (1/3!)*((4S)^2).
>A serie acima e o valor da funcao zeta em 2.
>
>Note que  a sequencia 1, 1/(2^2),1/(3^2),1/(4^2), ... e tal que
>1/Ai  -  2/Ai+1  +  1/Ai+2 = K, K constante e diferente de zero, para
>qualquer i. Toda serie que satisfaz a relacao acima e tal que :
>
>A1 - 2*A2 + 3*A3 - 4*A4 + 5*A5 - ...
>
>Converge condicionalmente, conforme voce pode mostrar facilmente usando o
>Teorema de Leibniz a que me referi acima.
>
>Se admitirmos que as series alternadas cujos modulos dos inversos dos seus
>termos sao uma PA constituem um dado, entao o problema dos inversos das PA2
>fica bem posto. Mais claramente, seja A1, A2, ..., An uma sequencia tal que
>( K e S dados ) :
>
>1) 1/Ai - 2/Ai+1 + 1/Ai+2 = K = constante nao nula, independente de i
>2) A1 - 2*A2 + 3*A3 - 4*A4 + 5*A5 - 6*A6 + ... converge para S.
>
>A serie abaixo converge para que numero real ? :
>
>A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + ...
>
>Essa questao nao e simples. E uma forma diferente de abordar um problema
>resolvido apenas parcialmente pelo Euler.
>
>
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