[obm-l] 1+11+111+...

[Rafael <matduvidas@xxxxxxxxxxxx>]

Olá Pessoal!

Recebi essa questão para resolver:
Encontre a soma 1 + 11 + 111 + 111...111, que tem n
parcelas.

Abaixo vou colocar o que melhor consegui responder.
Porém achei meio vago, sem muita teoria, meio intuição
sem provar por a + b, entendem? Vejam o que eu fiz e
tentem mostrar por que, ou então achar um jeito melhor
de responder.

Resolução:
Você pode escrever a conta para n pequeno, tipo se n =
1, 2, 3, 4, 5...
n = 1
soma = 1

n = 2
soma = 1 + 11 = 12

n = 3
soma = 1 + 11 + 111 = 123

n = 4
soma = 1 + 11 + 111 + 1111 = 1234

n = 5
soma = 1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 = 12345

E assim vai. Agora precisamos ver o que acontece
quando n passa de 9 porque até aí você pode ver que se
n = 9 o resultado será 123456789, mas aí começa o
problema de "vai um". Se n = 10 teremos:
n = 10
soma = 1234567900

n = 11
soma = 12345679011

E você já pode ver como deve ser a resposta. Ela vai
ser algo do tipo:
123456790123456790123456790...

Para ver se é isso mesmo você pode fazer uma conta
maior, como por exemplo para n = 25, por exemplo. Ou
então você pode colocar uma conta grande com
reticências no lugar de algumas parcelas e deduzir o
que acontece.

             1
            11
           111
          1111
         11111
        111111
       1111111
    ...........
      11111111
     111111111
    1111111111
   11111111111
  111111111111
 1111111111111
 -------------
 
Você pode ver que os primeiros algarismos serão 1, 2,
3, 4...até 7. Depois viria o 8 e o nove. Mas em
seguida viria 10, que não pode ser, tem que ir 1.
Então no lugar do 9, você somaria 1 e ficaria com 10.
Então fica o zero e vai um que soma com o oito, onde
você tem 9 e aí não vai mais 1! Por isso você tem a
sequência 1234567900.

Aí você pode ir mais pra frente e ver que depois tem
11 uns que somam 11 e vai 1 que vai somar com o zero
do 10 e o resto é o que nós vimos antes, então você
terá 12345679011.

E assim, você pode concluir o resto que vai ser
sempre:
12345679012345679012345679...

Sendo que o último algarismo será o último algarismo
do número n de parcelas.

Abraços,

Rafael.

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