Depende,bicho.Se voce adotar o tipo axiomatico,isso e um axioma.Esse tipo axiomatico e mais ou menos como te dar uma noçao de como e um numero real sem tu ter nem ideia do que e numero(e como se voce fosse iniciante de xadrez e nao soubesse as regras,eu acho).
Mas ha outro caminho que e voce definir os naturais por Peano(ou demonstrar Peano por conjuntos) e depois ampliar esse conjunto.De natural ce vai para inteiro(voce aprende o que e mais e menos e suas contas de menos passam a ter sentido sempre),depois ce define racional(dividir dois inteiros com o denominador nao nulo).A parte mais emocionante e a definiçao de real(formalize-a!!!!!!Aqui vao umas pistas):
Um numero real K e um subconjunto proprio dos racionais(ou seja, nao e vazio e nao contem todos os racionais) sem um maximo(ou seja para todo x em K sempre existe x' em K tal que x<x') e que contem todos os numeros menores que cada um de seus elementos(ou seja se p esta em K e q<p,entao q esta em K).
Por exemplo o conjunto D dos racionais menores que dois e (ou pode ser considerado) um numero real.De fato este e um subconjunto proprio de racionais(o zero pertence a D e o 2 nao pertence,ja que 2<2 e mentira) sem maximo(de fato se x esta em D podemos tomar x'=(x+2)/2 e ver que x<x' e x' esta em D) e D contem os numeros menores que cada um de seus elementos(se p<q e q<2,temos que q esta em D e p<2 logo p esta em D).Desse mesmo jeito demonstramos a realidade de certos conjuntos analogos pondo um racional qualquer no lugar do 2.Se p e um raconal o conjunto dos racionais menores que p tera o nome de p@
Tente demonstrar que o conjunto R dos racionais que ou sao negativos ou sao nulos ou cujos quadrados sao menores que 2 e um numero real.
As desigualdades sao definidas assim:
K<=M se e so se M contem K,
K<M se e so se K <=M e K nao e igual a M.
K>=M se e so se M<=K
K>M se e so se M<K.
Demonstre que esta relacao(a de <=) e de ordem(ou seja e reflexiva,anti-simetrica e transitiva).Depois demonstre a tricotomia( K<=M ou K>=M) (voce deve demonstrar como lema o fato de que se K e real e x e um racional fora de K entao x>t para todo t dentro de K).Vamos dar o nome REAL ao conjunto de todos os numeros reais
A soma K+L e definida como o real cujos elementos sao soma de dois caras quaisquer,um de K e outro de L(demonstre que esse real existe).Prove as ordens usuais dessa soma "maluca".Use o lema:
seja um real K,um racional negativo u e M(k) o conjunto das cotas superiores de K.Entao existem p em K,q em M(k),tal que p=q+u (ou p-q=u) e q nao e o minimo de M(k).(pra demonstrar use a imaginacao na reta numerica.)
A multiplicaçao e um porre pra definir.Primeiro mostre que se K>0@ e B>0@ sao reais entao o conjunto dos racionais que ou sao negativos ou sao zero ou sao o produto de dois caras quaisquer,um de K e outro de L,e um numero real.Depois defina o produto K*L(ou KL na algebra e nas contas) assim:
se K=0@ ou L=0@ entao KL=0;se K>0@ e L>0@ o real definido no lema anterior e o proprio KL.Se alguem e negativo troque o sinal desse negativo e caia num dos casos anteriores(formalize isso direitinho,usando as regras de sinais).E prove as propriedades usuais desse produto xarope.Use esse lema:
Se K>0@ e um real e u e um racional entre zero e um,e M(k) todas as cotas superiores de K,entao existem racionais p em K e q em M(k) tais que p=qu(ou p/q=u) e q nao e o minimo de M(k).(para tal seja um s fora de K e seja o racional q(n)=s*u^n com n natural qualquer e tente fazer a analogia da soma).
Para demonstrar o teorema(ou axioma)do supremo(ou seja o fato de que acabamos de criar um corpo ordenado completo) demonstre o lema:
seja A um subconjunto de REAL,nao-vazio,limitado superiormente(ou seja existe um real m tal que se x esta em A entao m>=x).Mostre que a uniao U dos racionais x tais que x esta em algum subconjunto de A e um numero real.
Depois mostre que este conjunto e a menor das cotas superiores de A(ou seja,U e o supremo de A) e UFA!!!
TCHAU!!!!!Ass.:Johann
Se nao gostou desse e-mail pegue o livro de calculo do Guidorizzi.Se tu es paulistano va ate a USP na biblioteca do IME.
Bruno Lima <bbslima@yahoo.com.br> wrote:
No livro do Elon, Curso de analise vol1, no cap 3 ele enuncia o seguinte axioma:
" Existe um corpo ordenado completo " , pra mim isso nao tem cara de axioma. Nao da pra provar esse fato ?? Ou seja, provar que o conjunto dos reais 'e corpo ordenado completo??
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TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE
CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE
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