Re: [obm-l] conjuntos abertos na reta real

["larryp" <larryp@xxxxxxxxxx>]

Caro Artur:

Seja X um conjunto aberto da reta real. Então, pelo teorema da existência
(para cada aberto X, existe uma família enumerável de intervalos abertos
disjuntos dois a dois cuja união é X), podemos escrever X = UNIÃO A(i), onde
i pertence a N e os A(i) são intervalos abertos disjuntos dois a dois.

Em algum ponto da demonstração da existência dos A(i) deve ter aparecido o
seguinte fato:
"Se x pertence a X, então x pertence a A(i), para algum i, e A(i) é o maior
sub-intervalo de X que contém x"

Suponhamos que X = UNIÃO B(j) ( j em N, e os B(j) intervalos abertos
disjuntos dois a dois) e que as duas representações são distintas.

Neste caso, existirá um índice "r" tal que B(r) será diferente de A(i) para
todo i.

Seja "x" pertencente a B(r). Então B(r) é o maior sub-intervalo de X que
contém "x".

Por outro lado, existe um índice "s" tal que "x" pertence a A(s), e A(s) é o
maior sub-intervalo de X que contém "x".

Assim, A(s) = B(r) ==>

Contradição pois, por hipótese, B(r) é diferente de A(i) para todo i ==>

As duas representações são idênticas.

Espero que isto seja útil.

Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "Artur Costa Steiner" <artur@opendf.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Saturday, January 04, 2003 11:33 PM
Subject: [obm-l] conjuntos abertos na reta real


> Feliz 2003 para todos!
>
> Sabemos que, na reta real, todo conjunto aberto é dado por uma união
> disjunta e numerável de intervalos abertos. Quase todos os livros de
> Análise Real apresentam a prova deste teorema. Estou agora tentanto
> provar que esta representação de conjuntos abertos é única, e estou
> encontrando alguma difculdade. Deve haver algum detalhe, talvez trivial,
> que esteja me passando. Alguém poderia ajudar?
>
> Obrigado.
> Artur
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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