Re: [obm-l] IME-95

[Helder Oliveira de Castro <djub-djub@xxxxxxxxx>]

Em 24 Dec 2002, obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: 

>Oi a todos da lista ! Pessoal, tem um problema de geometria espacial do 
IME-95 que nao consegui resolver,segue logo abaixo: 
> 
> 6 esferas identicas de raio R encontram-se posicionadas no espaço de tal 
forma que cada uma delas seja tangente a exatamente 4 esferas.Desta 
forma,determine a aresta do cubo que tangencie todas as esferas. 
> 
> Grato 
> Felipe Mendonça. Vitória-ES MSN Messenger: converse com os seus amigos 
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
>O administrador desta lista é 
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> 
>---------- 
Tudo certo, Felipe Mendonça. É a primeira vez que tento ajudar alguém e 
espero estar ajudando. Leia e julgue depois. 
O jeito que eu pensei foi o seguinte: o problema deu a dica de que existe um 
cubo que é tangente a todas elas. Aí você pensa num cubo. Em cada face dele 
você coloca uma esfera tangente (por dentro) de forma que a esfera tangente 
a cada face do cubo seja tangente às esferas que, por sua vez, são tangentes 
às faces que possuem uma aresta em comum com a face da primeira esfera. Por 
exemplo, chame uma esfera de E tangente à face F do cubo. Logo devemos ter 
que E é tangente às esferas E1, E2, E3 e E4, onde Ei é a esfera tangente à 
face Fi do cubo, e a face Fi tem aresta em comum com a face F, p/ i = 
1,2,3,4. Feito isso, tome um plano que passa pelo meio do cubo, 
perpendicular a 4 faces do cubo e paralelo às outras 2 (é como cortar um 
cubinho ao meio). Por esse plano vamos ficar com a figura de 4 
circunferências (a de cima, de baixo, da frente e de trás) de raios R, 
respeitando as condições de tangência. Chamando os seus centros de C1, C2, 
C3 e C4 temos que o quadrilátero C1C2C3C4 é um quadrado, pois ele tem todos 
os seus lados medindo 2R e se você cortasse o cubo de outra forma, 
embaralhando assim C1, C2, C3, C4 (por exemplo ficando com C2C3C4C1) cairia 
no mesmo quadrilátero. Sua diagonal mede a-2R, onde a é a aresta do cubo, e 
seu lado 2R. Logo a-2R = 2R.sqrt2 e finalmente a = 2R(sqrt2+1). 

Obs: sqrt2 é a raiz quadrada de 2. Desculpe pelo texto longo, mas geometria 
espacial é horrível de se explicar desse jeito, na surra. Tente fazer alguma 
figura. 

Valeus, 
       Helder. 

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