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Re: [obm-l] Re:



Oi Eder, Oi Paulo,
Ola Prof Morgado e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

E verdade, alguem olhou na home page do John Scholes e traduziu 
literalmente, sem antes resolver o problema. Dai surgiu o enunciado errado :

Se p(x)=ax^2 + bx + c e, alem disso, P(x)=x nao tem solucao real, entao 
p(p(x))=0 nao tem solucao real.

O enunciado correto e :

Se p(x)=ax^2 + bx + c e, alem disso, P(x)=x nao tem solucao real, entao 
p(p(x))=x nao tem solucao real.

O Paulo Rodrigues e o Salvador ja apresentaram belas solucoes, baseadas na 
nocao de continuidade. Sobre a duvida de porque tem que ser p(x) > x ou p(x) 
< x para todo x real, basta imaginar os graficos :

Se p(x)=x nao tem solucao real entao e porque os graficos destas funcoes nao 
se interceptam, certo ? E isto so pode ocorrer de duas maneiras :

1) a > 0 e p(x) > x para todo x ( grafico de p(x) acima  de y=x )
2) a < 0 e p(x) < x para todo x ( grafico de p(x) abaixo de y=x )

Eu me dou por satisfeito imaginando os graficos. Mas se voce quer uma 
demonstracao formal disso, um esboco de uma tal prova pode ser :

p(x)=x nao tem solucao real <=> ax^2 + bx + c = x nao tem solucao
ax^2 + (b-1)x + c =0 nao tem solucao real.
(b-1)^2 -4ac < 0. => (b-1)^2 < 4ac. Como (b-1)^2 >= 0 segue que :
4ac > 0 => "a" e "c" tem o mesmo sinal.

Supondo a > 0, se para algum x1, p(x1) < x1 tome um x2 tal que
p(x2) > x2 ( x2 existe pois lim p(x)=+inf ). A continuidade de p(x) garante 
a intereseccao de y=p(x) com y=x, isto e, solucao para p(x)=x, um absurdo !

Procedimento semelhante para a < 0.

Aceita um conselho ? Se voce for rigoroso demais e perder muito tempo com 
provas simples assim, voce prende o seu pensamento e a sua imaginacao nao 
decola. Primeiro se concentre nas coisas fundamentais, depois voce prova as 
acessorias.

Um abraco
Paulo Santa Rita
1,1950,221202






>From: "Eder" <edalbuquerque@uol.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: [obm-l] Re:
>Date: Sun, 22 Dec 2002 10:31:09 -0200
>
>Oi Paulo,
>
>Acredito que minha tradução estava certa ou pelo menos não comprometia
>muito.O que estava errado era o p(p(x))=0 no site do John Scholes...
>----- Original Message -----
>From: Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Saturday, December 21, 2002 6:16 PM
>Subject: Re: [obm-l] Re:
>
>
> > Ola Prof Morgado e demais
> > colegas desta lista ... OBM-L,
> >
> > O contra-exemplo do Prof Morgado, dado abaixo, de forma elegante
> > efetivamente encerra a questao. O enunciado esta incorreto. Considerem
>agora
> > o problema :
> >
> > Sejam "a", "b" e "c" tres reais quaisquer. Se p(x)=ax^2 + bx + c  e
> > p(x)=x nao tem raiz real entao p(p(x))=x nao tem raiz real.
> >
> > Alias, esta discussao, indiretamente, mostra o quao capciosas podem ser 
>as
> > traducoes, nao podendo nunca se resumirem a mera transposicao literal do
> > enunciado de um idioma para outro ...
> >
> > Este espirito natalino que nos invade, me levou a pensar em Jesus, que 
>os
> > cristaos consideram O Cristo Prometido. Depois, por associacao de 
>ideias,
>me
> > lembrei de um dos Profetas que o antecederam, Salomao. E dai a um dos
> > proverbios deste Profeta : "Nao respondas ao tolo segundo a sua
>estulticia,
> > para que nao tambem nao te tornes semelhante a ele"
> >
> > Um abraco a Todos !
> > Paulo Santa Rita
> > 7,1812,211202
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> > >From: "A. C. Morgado" <morgado@centroin.com.br>
> > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > >Subject: Re: [obm-l] Re:
> > >Date: Sat, 21 Dec 2002 00:30:59 -0200
> > >
> > >Vou tentar encerrar a discussao. Tome p(x) = x^2 + 4x + 3. A equaçao 
>p(x)
>=
> > >x reduz-se a  x^2 + 3x + 3 = 0 ue nao tem raiz real pois seu
>discriminante
> > >eh negativo (-3). Como p(-2) = -1, p(p(-2)) = p(-1) = 0, NAO EH VERDADE
>que
> > >p(p(x))=0 nao possua raiz real, pois -2 eh raiz da referida equaçao.
>Assim
> > >como esse, ha muitos contraexemplos que podem ser dados (vejam mensagem
>de
> > >Salvador Addas Zanata).
> > >Peço desculpas a todos pelo contraexemplo que mandei em mensagens
> > >anteriores, pois ele estah errado.
> > >Morgado
> > >
> > >Eder wrote:
> > >
> > >>Esse problema foi retirado do site do John Scholes e o enunciado é:
> > >>
> > >>
> > >>
> > >>Define p(x)=ax²+bx+c.If p(x)=x has no real roots,prove that p(p(x))=0
>has
> > >>no real roots.
> > >>
> > >>
> > >>
> > >>     ----- Original Message -----
> > >>
> > >>     From: A. C. Morgado <mailto:morgado@centroin.com.br>
> > >>
> > >>     To: obm-l@mat.puc-rio.br <mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>
> > >>
> > >>     Sent: Friday, December 20, 2002 5:12 PM
> > >>
> > >>     Subject: Re: [obm-l] Re:
> > >>
> > >>
> > >>
> > >>
> > >>     Wagner wrote:
> > >>
> > >>>     Oi pessoal !
> > >>>
> > >>>
> > >>>
> > >>>     2)Vou supor que a,b,c,x sejam números reais e que a é diferente
> > >>>     de zero.
> > >>>
> > >>>      Prove que se p(x)=x não tem nenhuma raiz real, então o módulo 
>da
> > >>>     ordenada do máximo ou do mínimo de f(x)=p(p(x)) é maior que o
> > >>>     módulo da ordenada do máximo ou do mínimo de g(x)=p(x) -x e
> > >>>     depois prove que o sinal da derivada de segunda ordem de
> > >>>     f(x)=p(p(x)) e de g(x)=p(x) -x é o mesmo, assim se a segunda
> > >>>     função não tem raiz real a primeira também não tem.
> > >>>
> > >>>
> > >>>
> > >>>     Prova: Primeiro vou provar a segunda hipótese: g '' (x) =2a  ;
> > >>>      f(x)= a(ax^2 +bx +c)^2 +b(ax^2 +bx +c) +c =>
> > >>>
> > >>>     f ' (x) =2a(ax^2 +bx +c)(2ax +b) +b(2ax +b) => f '' (x)
> > >>>     =4(a^2)(ax^2 +bx +c) +2a(2ax +b)^2 +2ab.
> > >>>
> > >>>     Se a segunda hipótese é verdadeira então f '' (x)/g '' (x) > 0
> > >>>     => 2a(ax^2 +bx +c) +(2ax +b)^2 +b > 0 =>
> > >>>
> > >>>     2(a^2)(x^2) +2abx +2ac + 4(a^2)(x^2) +4abx +b^2 +b > 0  => h(x) 
>=
> > >>>     6(a^2)(x^2) +6abx +b^2 +2ac +b > 0.
> > >>>
> > >>>     Como o coeficiente dominante de h(x) é positivo, devemos apenas
> > >>>     provar que h(x) não possui raízes reais.
> > >>>
> > >>>     Se h(x) não possui raízes reais então :  36(a^2)(b^2)
> > >>>     -24{(a^2)(b^2) + 2(a^3)c + (a^2)b} < 0 =>
> > >>>
> > >>>     12(a^2)(b^2) -48(a^3)c -24(a^2)b < 0 => 12b^2 -48ac -24b <0 =>
> > >>>     b^2 -4ac -2b < 0 => b^2-4ac < 2b ( 1 )
> > >>>
> > >>>
> > >>>
> > >>>     Para provar ( 1 ) vou fazer algumas considerações:
> > >>>
> > >>>     Devemos ter que p(x)=x não tem raízes reais. Logo (b-1)^2 -4ac <
> > >>>     0  => b^2 -2b +1 -4ac < 0 => b^2 -4ac < 2b -1,
> > >>>
> > >>>     logo ( 1 ) é verdadeira se p(x) = x não possui raízes reais CQD.
> > >>>
> > >>>
> > >>>
> > >>>     Devemos provar agora a primeira hipótese. g ' (x) = 0 => 2ax 
>+b-1
> > >>>     =0 => x = (1-b)/2a => g ((1-b)/2a) =((b^2-2b+1)/4a) +(-b^2/2a) 
>+c
>=
> > >>>
> > >>>     =c +(-b^2-2b+1)/4a = (4ac -b^2-2b+1)/4a =>
> > >>>
> > >>>     módulo da ordenada de máximo ou mínimo de g (x) é |
> > >>>     {-(b^2+2b-1-4ac)/(4a)} | = y
> > >>>
> > >>>     f ' (x) = 2a(ax^2 +bx +c)(2ax+b) +b(2ax +b) => f ' (x) = (2ax
> > >>>     +b)(2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b)   ; f ' (x) =0 =>
> > >>>
> > >>>     (2ax +b) =0 ou (2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b) =0.
> > >>>
> > >>>     O primeiro caso implica em: x= -b/2a
> > >>>
> > >>>     O segundo caso implica em: delta= 4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c +
>2(a^2)b).
> > >>>
> > >>>     Vamos provar que delta < 0 :  4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c +2(a^2)b) <
> > >>>     0 => b^2 -4ac -2b < 0 => b^2-4ac < 2b ( 1 ).
> > >>>
> > >>>     Como ( 1 ) já foi provado, então ficamos só com o caso x= -b/2a 
>=>
> > >>>
> > >>>     f(-b/2a) = a((b^2/4a) -(b^2/2a) +c)^2 +b((b^2/4a) -(b^2/2a) +c)
> > >>>     +c = a(c -(b^2/4a))^2 +b(c -(b^2/4a)) +c =
> > >>>
> > >>>     =a{c^2 -c(b^2)/2a +(b^4/16a^2)}+b(c -(b^2/4a)) +c = a(c^2)
> > >>>     -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c =>
> > >>>
> > >>>     módulo da ordenada de máximo ou mínimo de f (x) é | {a(c^2)
> > >>>     -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c} | = z.
> > >>>
> > >>>     Como a segunda hipótese é verdadeira então se g(x) tem máximo
> > >>>     definido f(x) também tem, e se g(x)
> > >>>
> > >>>     tem mínimo definido f(x) também tem. Temos que se p(x) =x não 
>tem
> > >>>     raiz real f '(x) e g'(x) só tem uma
> > >>>
> > >>>     raiz real, note que se a > 0, g(x) tem mínimo e se a < 0, g(x)
> > >>>     tem máximo. Logo para provar a primeira hipótese, temos
> > >>>
> > >>>     que considerar 2 casos : a > 0 e a < 0.
> > >>>
> > >>>     Suponha que a primeira hipótese seja falsa:
> > >>>
> > >>>     a > 0 => y > z e y,z > 0 => g((1-b)/2a) > f(-b/2a) => -b^2/4a
> > >>>     -b/2a +1/4a +c > a(c^2) -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c =>
> > >>>
> > >>>     -4b^2 -8b +4 > 16(a^2)(c^2) -8ac(b^2) +b^4 +16bc -4b^3 =>
> > >>>     16(a^2)(c^2) -8ac(b^2) +b^4 +16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4 =h(a) < 0
> > >>>
> > >>>     Considere ( 2 ) uma função do 2º grau de variável a. Temos a > 
>0,
> > >>>     logo:
> > >>>
> > >>>     64(b^4)(c^2) -64(b^4)(c^2) -64(c^2)(16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4) < 0
> > >>>     => 16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4> 0 ( 3 ).
> > >>>
> > >>>     De ( 2 ) vem que: (b^2 -4ac)^2 < -(16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4) < 0 
>.
> > >>>     Absurdo !
> > >>>
> > >>>     Para o caso a < 0 => y > z, temos um raciocínio análogo, 
>provamos
> > >>>     que se a < 0, então h(a) > 0, logo o delta de h(a)
> > >>>
> > >>>     é negativo, o que nos leva a conclusão de que (b^2 -4ac)^2 < 0
> > >>>     Absurdo !
> > >>>
> > >>>     Logo a primeira hipótese é verdadeira, porque é absurdo que ela
> > >>>     seja falsa se a segunda hipótese é verdadeira,
> > >>>
> > >>>     Logo p(x)=x não ter raízes reais implica na segunda hipótese qua
> > >>>     implica na primeira.
> > >>>
> > >>>     Se a primeira e a segunda hipóteses são ambas verdadeiras, isso
> > >>>     implica que p(p(x))=0 não tem nenhuma raiz real
> > >>>
> > >>>     CQD.
> > >>>
> > >>>      Isso eh falso. Se  p(x) = x^2 +3x+2, a equaçao p(p(x))=0 tem
> > >>>uma raiz real entre  -1  e  0.
> > >>>
> > >>>     OBS:Me desculpem pelo e-mail que eu mandei sem querer antes, ele
> > >>>     estava com a resposta pela metade.
> > >>>
> > >>>
> > >>>
> > >>>
> > >>>
> > >>>     André T.
> > >>>
> > >>>
> > >>>
> > >>>         ----- Original Message -----
> > >>>
> > >>>         From: Eder <mailto:edalbuquerque@uol.com.br>
> > >>>
> > >>>         To: obm-l@mat.puc-rio.br <mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>
> > >>>
> > >>>         Sent: Thursday, December 19, 2002 5:32 PM
> > >>>
> > >>>
> > >>>         Gostaria da ajuda de vcs nestes problemas russos:
> > >>>
> > >>>
> > >>>
> > >>>
> > >>>
> > >>>         1)Um triângulo tem área 1 e lados a > = b > = c.Prove que b²
> > >>>         > = 2.
> > >>>
> > >>>
> > >>>
> > >>>         2)Defina p(x)=ax²+bx+c.Se p(x)=x não tem nenhuma raiz real,
> > >>>         prove que p(p(x)) = 0 também não tem nenhuma raiz real.
> > >>>
> > >>>
> > >>>
> > >>>         Grato pela ajuda.
> > >>>
> > >>>
> > >>>
> > >>>         Eder
> > >>>
> > >>
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> > MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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