Olá a todos
Seja (f_n) uma seqüência de funções reais definidas em [a, b] e que
converge, ao menos ponto a ponto, para uma função f contínua em [a,
b]. Suponhamos que cada f_n seja monotônica em [a , b] (não estamos porém
assumindo que todas as f_n sejam crescentes ou decrescentes, é possível
que haja funcões crescentes e outras decrescentes). Eu li que tais condições
garantem que a convergência f_n ---> f é uniforme, mas não consegui
provar. Tentei tirar partido do fato de que f é uniformemente contínua em [a,
b], mas isso não me permitiu chegar à condição desejada. Tentei também usar o
Teorema de Dini, mas não parece ser o caso, pois este teorema aplica-se
quando a sequência de funcões é monotonicamente crescente ou decrescente,
e não quando as funções da sequência são monotônicas.
Podemos concluir das propriedades dos limites que, se
f não for constante em [a, b], então a partir de algum k, todas as
funções f_n tem necessariamente que ser crescente ou decrescentes (não há
alternância), mas isto não me permitiu chegar ao resultado desejado.
Alguém tem alguma sugestão de como provar tal fato (a menos que seja falso, mas
o livro em que li isto é de excelente qualidade)?
Obrigado
Artur