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No caso unidimensional o problema crucial
é quando a função f se anula. É aí que entra a "necessidade" e suficiência
de ser Lipschitz para que se tenha unicidade. Pode-se provar que se f contínua
for sempre positiva ou sempre negativa, então há unicidade de soluções, e f não
precisa ser Lipschitz (quer dizer, a condição Lipschitz não é bem necessária,
mas é suficiente)
Agora, você pode tentar encontrar um exemplo
em que f se anula num ponto, onde não é Lipschitz e mesmo assim só existe uma
solução passando por aquele ponto. Existe um exemplo simples?
O Teorema de Picard não fala em necessidade
Lipschitz, mas em suficiência. Resumindo:
continuidade de f é suficiente para a existência de
uma solução. (Peano)
f Lipschitz é suficiente para que a solução seja
única.
Abraço. Pedro.
----- Original Message -----
Sent: Friday, November 29, 2002 9:40
AM
Subject: Re: [obm-l] Re:
[obm-l]_Existência_e_Unicidade
Mas nesse exemplo a condição Lipschitz é suficiente, não necessaria a
priori, ou é?
"Nicolau C. Saldanha" <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
wrote:
On
Thu, Nov 28, 2002 at 11:07:49AM -0300, bruno lima wrote:
>
>
Nao vou ser formal !
>
> Sendo x' =f(x) um campo vetorial no
R^n.
>
> Se f(x) é uma aplicação de Lipschitz, ie,
>
> D( f(x),f(y) )<=KD(x-y) pra todos x,y no R^n .D é a distancia
>
> entao dado qualquer ponto do R^n existe uma única solução
que num certo
> instante passa por esse ponto (Condição inicial ou
Problema de Cauchy)
>
> Quero saber se a condição Lipschitz é
necessária?? Me parece que não..
É necessária sim. Considere no caso
n=1 a função f(x) = x^(1/3).
Considere as soluções x0(t) = 0
e
x1(t) = 0 para t <= 0
x1(t) = (sqrt(6)/3) t^(3/2) para t >
0
> E se eu trocar aplicação de Lipschitz por aplicação de
Holder?? Isso é
> necessário??
O exemplo acima é Hölder. Você
pode trocar 1/3 no e! xpoente por qq outro
racional p/q com p e q
ímpares, 0 < p/q < 1, e obter exemplos similares.
[]s,
N.
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