Sabendo que para todo x
pertencente aos reais tem-se P(x) = P(-x-1). Determine
um polinômio f(x)
tal que P(f(x)) = P(f(-x)).
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Como P(x) = P(-x-1) entao P(f(x)) =
P(-f(x)-1)
donde uma solucao eh encontrada fazendo
f(x) = -f(x) - 1 e f(x) = -1/2 para todo
x.
Por outro lado, como P(x) = P(-x-1) eh
facil
ver que P(a) = P(b) sempre que a+b =
-1.
Portanto, para que P(f(x)) = P(f(-x))
eh
suficiente que f(x) + f(-x) = -1 para todo
x.
Os polinomios que satisfazem essa
condicao
sao os que tem termo independente igual
a
-1/2 e cujos coeficientes de x^(2n) sao todos
nulos.
Um exemplo desse tipo de polinomio
eh
f(x) = 2x^3 - 3x -1/2
Note que f(-x) = -2x^3 + 3x -1/2 e
que
f(x) + f(-x) = -1
Eric.