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Então... essa é a contradição... vc supõe q P, um polinômio ñ
constante, ñ tem raízes.. e chega em q ele constante... absurdo, logo ele
deve ter uma raiz.
Usando o teorema de Green é bastante legal. Vou colocar a idéia só... e aí
vc formaliza. Se não conseguir, eu coloco. Considere o polinômio P como uma
função de C em C. Então, se P(z)= a(n)*z^n +...+a(1)*z+a(0), considere que a(0)
é diferente de zero, senão é trivial. Temos P(0)=a(0). Agora a idéia é vc
estudar as imagens de círculos centrados na origem por P. Seja C(r) tal circ com
raio r. Para r suficientemente pequeno, P(C(r)) não dá nenhuma volta no zero.
Agora, sabemos que quando r é suficientemente grande, | P(C(r)) | é grande,
portanto dá pelo menos uma volta no zero (pois |P(z)| vai pra inf qd |z| vai pra
inf). Então, por continuidade, em algum R temos P(C(R)) passando por zero, o q
nos dá uma raiz.
Essa é a idéia. Agora, para formalizá-la, vc pode usar o teorema de green,
junto com a forma de medida de ângulo.
Abraços,
Villard
Ola Villard!!!!!!Voce tem a demonstraçao por Green?Poe ela aqui pra todo
mundo ver!!!!!Falando nisso,foi bom voce ter me lembrado deste Teorema de
Liouville.Vou pegar a demonstraçao agora(esta esta no livro Variaveis
Complexas,de Murray Ralph Spiegel,traduzido por Jose Raimundo Coelho,Coleçao
Schaum,Ed.McGraw-Hill):
TEOREMA DE LIOUVILLE:se para qualquer ponto z complexo,sabe-se que a funçao
f(z) e analitica e limitada(ou seja,existe M real tal que
|f(z)|<M),entao f(z) deve ser constante.
Suponha que o polinomio de grau n>0 nao tenha
raizes.Entao f(z)=1/Polinomio seria analitica,e limitada(f tende a 0
quando |z| cresce).Logo e constante,por Liouville.Mas desde quando polinomio e
constante?
Rodrigo Villard Milet
<villard@vetor.com.br> wrote:
A demonstração mais simples que tem é usando o teorema de Liouville
(acho q é assim q se escreve)... no entanto conheço uma que usa o teorema de
Green tb... é mais legal, é claro :)
Abraços,
Villard
Nao me lembro mais quem me perguntou sobre isso,mas acho que ja esta na
hora de responder.E sobre a existencia de soluçoes complexas de polinomios
em C[z]
Para demonstrar o TFA,vou enunciar esses dois teoremas,que podem ser
demonstrados com a ajuda das formulas integrais de Cauchy.Depois eu falo
disso em outros e-mails.
TEOREMA DE ROUCHE:se em uma curva fechada C e sobre ela as funçoes f(z)
e g(z)sao analiticas,e |g(z)|<|f(z)| em C,temos que as funçoes g(z) e
f(z)+g(z) tem o mesmo numero de zeros em C(contando multiplicidades).
Agora considere as funçoes f(z)=polinomio de grau n-1,g(z)=z^n,e
considere a superficie C como sendo um circulo centrado na origem de raio
R suficientemente grande(maior que 1),de modo que |f(z)|/|g(z)|>1 em
C.Para encontrar esse raio R,use o fato de que em C nenhum complexo tem
comprimento maior que o raio.
Depois de demonstrar isso,basta ver que g(z) tem n zeros em
C
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