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1)
1111...1 ~ 1 mod 10
sabemos também que se a² ~ 1 mod 10
a ~ 1 ou a ~ 9 mod 10
caso a = 10x + 1
(10x + 1)² = 100x² + 20x + 1 = 1111..1
10x² + 2x = 1111...1 (com 299 dígitos)
2|10x² + 2x mas 2 não divide 1111...1
caso a = 10x + 9
(10x + 9)² = 100x² + 180x + 81 =
1111..1
isso vai dar
100x² + 180x = 1111....1030
10x² + 18x = 1111....103
novamente, um lado é par o outro é
ímpar...
2)
seja n > 11
se n é par, tome n = 2k, se k é primo, k-1 e
k+1 são compostos, logo (k-1)+(k+1) = 2k = n
se k não é primo n = k + k (nenhum problema os
números compostos serem o mesmo, certo?)
se n = 2k + 1
se k é primo, k-1 não é primo e k+2 só pode
ser primo se k-2 não é primo*, logo
(k+2) + (k-1) = 2k + 1 = n
se k+2 é primo, então k-2 não é
k-2 + k+3 = 2k + 1 = n
k+3 é par logo não é primo (k > 5)
* os únicos primos consecutivos da forma p, p+2,
p+4, são 3, 5, 7
demonstração:
suponha p primo,
p ~ 1 ou p ~ 2 (mod 3)
se p ~ 1, p + 2 ~ 3 ~ 0 (mod 3) =>
3|p+2
se p ~ 2, p + 4 ~ 6 ~ 0 (mod 3) =>
3|p+4
dessa forma temos que 3 sempre divide um dos três
termos...
4)
suponha, i != j, i, j > 0
i.a ~ j.a (mod b)
<=> (j-i).a ~ 0 (mod b)
<=> b.q = (j-i).a
como d = mdc(a, b), suponha a = a'.d e b =
b'.d
b'q = (j-i).a'
mdc(b', a') = 1, logo b'|(j-i)
isso nos diz que
se i.a ~ 0 (mod b)
(i + b').a ~ 0 (mod b)
mas b.a ~ 0 (mod b)
logo
(b - b').a ~ 0 (mod b)
(b - 2b').a ~ 0 (mod b)
...
(b - (d-1).b').a ~ 0 (mod b)
somando no total d elementos congruentes a 0 mod
b.
acho que vc deve tentar fazer alguns e postar suas
dificuldades aqui na lista...
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