RE: [obm-l] OBM-u

["leandro" <lrecova@xxxxxxxxxxx>]

Humberto,

Perfeita a solucao pra 02. Parabens. Do jeito que foi posto na lista
inicialmente, faltava uma condicao a mais.

Leandro.

-----Original Message-----
From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
[mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Humberto Naves
Sent: Wednesday, October 23, 2002 1:31 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] OBM-u

   Oi Shine,

  Eu fiz o problema 2 assim: Como a matriz A � sim�trica, ela �
diagonaliz�vel,
logo det A � o produto dos auto-valores de A.
  Primeiramente vamos provar que todos os auto-valores s�o positivos.
Suponha,
por absurdo que um auto-valor "v" seja negativo. Pegue um vetor V n�o
nulo, tal
que: A*V = m * V; V = [v1 v2 v3 ... vn](T) , onde  (T) significa
transposto.
Seja vi tal que |vi| = max {|v1|, |v2|, ..., |vn|}. Como m * vi =
Somat�rio com
j variando de 1 at� n de aij*vj <=> (m - 1) * vi = Somatorio com j <> i
de aij
* vj e como |vj| <= |vi| para todo j e Somatorio de |aij| com j <> i �
menor
que 1, temos que |(m - 1) * vi| > |Somatorio com j <> i de aij * vj|, um
absurdo
pois m < 0.
  Como a soma dos auto-valores (contando as multiplicidades) � o tra�o
da
matriz A que � n, e todos os auto-valores sao positivos, pela
desigualdade das
m�dias, o produto dos auto-valores � menor ou igual a 1, ou seja:
  0 < det A <= 1.

  J� o problema 6, eu tentei resolver por �lgebra, mas n�o consegui, e
pensei
que a solu��o oficial seria por projetiva.

  Falow, Humberto
 --- Carlos Yuzo Shine <cyshine@yahoo.com> escreveu: > Ol� amigos da
lista!!
> 
> Bom, l� v�o minhas impress�es sobre a OBM-u 2002...
> 
> Eu gostei bastante da prova! Os dois dias estavam bem
> legais, embora no primeiro dia eu tenha achado o
> problema 3 mais f�cil que o 2.
> 
> Na verdade, tanto o problema 1 como o 3 s�o bastante
> adequados para alunos que est�o no n�vel 3 (eu, em
> particular, gostei bastante do problema 3). Encorajo
> esses alunos a pensar neles. O 4 (segundo dia) tamb�m
> � adequado.
> 
> O segundo dia tinha problemas bem interessantes
> tamb�m. No 5, eu resolvi com a defini��o a_n =
> \prod_{j=0}^{k(n)} ln_j(n). Mas infelizmente eu cometi
> um errinho no final (s� vi isso hoje!) com uma
> estimativa... Faltou mostrar (?) que e(k)/e(k-1) >
> \epsilon*e(k), onde e(k) = e^(e^(e^...^e))), onde
> aparecem k e's.
> 
> O 4 eu demorei bastante para fazer pois n�o vi a
> substitui��o trigonom�trica de cara... depois de
> encontrar um polin�mio de grau 8, achar duas de suas
> ra�zes e obter um polin�mio de grau 6, demorei
> bastante. Tanto � que na minha prova est� escrito em
> algum lugar "vou fatorar esse polin�mio de qualquer
> jeito!" :) Mas fatorei em dois polin�mios de grau 3 e
> finalmente resolvi com a substitui��o trigonom�trica.
> 
> Bom, ainda vou pensar nos problemas 2 e 6. Eu tive
> umas id�ias neles que parecem que v�o para a frente.
> 
> []'s
> Shine
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