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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] dúvida??



Ola Leonardo e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Oi Leonardo, tudo legal ?

Voce esta certo. O PRIMEIRO PULO ocorre quando ela BATE NO CHAO PELA 
PRIMEIRA VEZ, quando, portanto, fora largado da ALTURA INICIAL de 12 metros. 
Segue que a altura que ela atinge neste primeiro pulo e de
12*(2/3).

Esse ultimo valor que encontramos sera a base para se calcular qual a altura 
que ela atinge no segundo pulo, que sera : 12*[(2/3)^2]. E assim 
sucessivamente. No terceiro pulo ela atinge a altura de 12*[(2/3)^3], isto 
e,  32/9

Claramente que no N-esimo pulo ela atinge a altura de 12[(2/3)^N]

Quando ela bate no chao pela N-esima vez e porque ela ja deu N-1 pulos. em 
cada pulo e necessario considerar a SUBIDA E DESCIDA, logo :

Sn = 12 + 2*12*(2/3) + 2*12*(2/3)^2 + ... + 2*12*(2/3)^(N-1)

e o espaco que ela EFETIVAMENTE JA PERCORREU no momento em que toca no solo 
pela N-esima vez ! Em particular, ao tocar no solo pela terceira vez, tera 
efetivamente percorrido :

S3 = 12 + 2*12(2/3) + 2*12*(2/3)^2 = 116/3

Se nos quisessemos encontrar quanto ela teria percorrido ate parar bastaria 
somar a PG infinita. Isto daria :

S = 12 + PG infinita = 12 + [16/(1 - 2/3)] = 12 + 48 = 60

Isto tudo e muito simples, cai em vestibulares e constitui um conhecimento 
basico : Numa PG de termos a1, a2, ..., an se a razao "q" e tal que 
modulo(q) < 1 entao existe :

Lim Sn ( N indo pro infinito ) e Lim Sn = a1 /(1-q).

Em verdade, o passo crucial aqui e ver que se :

Sn = a1 + a1*q + a1*(q)^2 + ... + a1*[q^(N-1)]

Entao

(1-q)*Sn = a1*(1 - q^N) e como q^N -> 0 quando N->+INF segue que
(1-q)*Sn = a1.

Vemos que o polinomio P=f(q)=1-q foi muito util, pois tornou a consideracao 
do limite facil. Agora,

Observando que os expoente de "q" numa PG tradicional constituem uma PA 
ordinaria, isto e, uma PA de ordem 1, podemos imaginar uma "PG" de ordem P 
como aquela "serie geometrica" em que os expoentes de "q" constituem uma PA 
de ordem P. Assim,

a1, a1*q, a1*(q^3), a1*(q^6), ... ,a1*^[q^(N*(N-1)/2)], ...

Claramente que se modulo(q) < 1 a serie :

Sn= a1 + a1*q + a1*(q^3)+ a1*(q^6)+ ...+ a1*^[q^(N*(N-1)/2)]+ ...

converge. Sera que, assim como na serie geometrica, existe um polinomio 
p=f(q) tal que :

f(q)*Sn permita calcular com facilidade o LIM Sn ? Se sim, qual a cara ( a 
forma ) deste polinomio ?

Um Abraco
Paulo Santa Rita
3,1746,011002

>From: "leonardo mattos" <leonar_matt@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] dúvida??
>Date: Tue, 01 Oct 2002 00:51:25 +0000
>
>  Ola,
>  Quanto a letra a).Pq nao seria 12*(2/3)^3?!Considerando que no 1ºpulo ela 
>alcança 12*2/3,2ºpulo 12*(2/3)^2 e no 3º12*(2/3)^3...
>                                                   Um abraço,Leonardo
>
>
>>From: "Wagner" <timpa@uol.com.br>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>Subject: [obm-l] Re:[obm-l] dúvida?? Date: Mon, 30 Sep 2002 20:31:27 -0300
>>
>>Oi pessoal !
>>
>>
>>Mário wrote:
>>
>>Amigos de lista, peço ajuda:
>>
>>
>>"Uma bola pula cada vez que bate no chão 2/3 da altura de onde caiu.
>>Deixando-a cair da altura de 12 metros, pergunta-se:
>>a) qual será a altura do terceiro pulo?
>>b) Quanto percorreu ao bater no chão pela terceira vez?
>>
>>
>>  As alturas máximas a cada pulo estão em progressão geométrica de razão 
>>2/3 e termo inicial 12, assim como a distância percorrida a cada pulo 
>>também forma uma PG de razão 2/3 e termo inicial 24. Logo:
>>
>>a) x = 12.(2/3)^2 = 16/3 metros
>>b) Considerando que a pergunta seja quanto ela percorreu desde que é 
>>abandonada da altura inicial :
>>y = 24.((2/3)^3 - 1)/(2/3 -1) = 24.(-19/27)/(-1/3) = 24.3.19/27 = 152/3 
>>metros
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