Re: [obm-l] Problema_4_OBM_universitária

[Leonardo Zão <leoaugzao@xxxxxxxxx>]

Em 16 Sep 2002, obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: 

>Pessoal, consegui encontrar usando ajuda de um software 
>que para m = 4 + 6k o polinômio é divisível, se alguém 
>souber mostrar isso, gostaria de uma ajuda! 
> 
> PROBLEMA 4 
>Determine todos os valores inteiros positivos de m para 
>os quais o polinômio (x+1)^m + x^m +1 é divisível por 
>(x^2 + x + 1)^2. 
> 
Eu fiz assim: 
Seja w uma raiz de x^2+x+1. Provemos que ela é raiz de 
P(x)=(x+1)^m + x^m + 1 com m=6k+4. 
como w^2+w+1=0, w+1=-w^2 
Substituindo no dividendo:P(w)=(-w^2)^(6k+4)+w^(6k+4)+1= 
(w^(6k+4))^2 + w^(6k+4) + 1. Repare que w é raiz cúbica da unidade, ou seja, 
w^3=1. Assim, w^(6k+4)=w e 
P(w)=w^2+w+1=0. 
Agora temos que provar que w também é raiz da derivada de P(x) 
P´(x)=m((x+1)^(m-1)) + m(x^(m-1)) 
m=6k+4 => P´(w)=m[(w+1)^6k+3 + w^(6k+3)]=m[-w^(6k+3)^2 + w^(6k+3)]=m[-1^2 + 
1]=0. 
Assim, as raízes de x^2+x+1 são raízes duoplas de P(x), sendo P(x), 
portanto, divisível por (x^2+x+1)^2. 
Espero q tenha ajudado e q esteja certo (foi assim que eu fiz). 

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