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Alo Paulo, pessoal!
PERGUNTA: Se f(x) é uma função
de 5º grau incompleta, quando é possível encontrar as soluções
algebricamente?
RESPOSTA: Existem varias
situações em que isso é possível. Considerando f(x) = ax^5 + bx^4 + ... +
ex + f :
-1ª situação: f = 0. Nesse caso
zero é soluçao e pode-se encontrar as outras raízes através de ax^4 + bx^3 + ...
+ e = 0, que pode ser
resolvida algebricamente pelo método de Ferrari
(observe que a situação e,f = 0 => f = 0)
-2ª situação: Sendo x = y + z.
x^5= y^5 + 5(y^4)z + 10(y^3)(z^2) + 10(y^2)(z^3) + 5y(z^4) + z^5 =
y^5 + z^5 + 5(y^3+z^3)(yz) + 10 (y+z)((yz)^2) = x^5
=> Se a=1, e = -10(yz)^2 e f = -(y^5 + z^5 + 5(y^3 + z^3)(yz)) => Se f é
diferente de
zero, a equação só pode ser resolvida
algebricamente se e somente se b,c,d = 0. (Ou quando essa condição for
satisfeita pela substituição
da incógnita x por g-(b/a) em que g passa a ser a
nova incógnita, como na resposta das equações de 3º e 4º grau)
(Não tenho muita certeza se a dedução na 2ª
situação esta correta)
André
T.
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