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Ola ,amigos estou com duvida na seguinte
questão:
O numero feliz é aquele que se pegarmos
apenas seus algarismos e eleva-los ao quadrado depois de n interações deste tipo
irar da em zero.
ex:
32= 3^2 + 2^2 = 13
13= 1^2 + 3^2 =
10
10= 1^2 + 0^2 = 1
Assim 32 é um numero feliz.
O numero é dito infeliz se apos
terminado seu ciclo ele ñ obteve o algarismo 1.
1)Prove que existe infinitos numeros felizes?
2)Prove que todo numero infeliz tem como ultimo
elemento do seu ciclo o numero 4?
3)Ache a função geratriz dos numeros
felizes?
4)Prove que os numeros felizes sempre recaem no
mesmo ciclo?
Gabriel, nao entendi muito bem sua pergunta, e acho
que o pesssoal tambem nao, pois esta ai desde ontem e ninguem repondeu. Isso foi
o que entendi:
1)Existem infinitos, pois 10, 100, 1000, 10.000,
... sao números felizes.
2)comecando com 4, obtemos a seq 4,16,37,58,89,145,42,20,4,... que se repete.
Tentei comecar com 2,3, 5 e 6 e sempre cai
nessa seq:
2,4,...
3,9,81,65,61,37,58,...
5,25,29,83,73,58,...
6,36,45,41,17,50,25,...
Ainda nao provei nada mas tenho motivos fortes para
achar que isso sempre acontece, e acredito que e isso que a pergunta dois
pede.
4)Chamemos a tansformacao de f.
O quadrado de um numero menor que dez e no maximo
81.
Logo se x tem n algarismos f(x) <=
81*n
Assim, por exemplo, a f de um numero de 10
algs e menor o u igual a 810.
Assim, qualquer que seja o x inicial que coloquemos
f eventualmente cai para um numero de 3 algarismos. f desse numero e menor ou
igual a 3*81=243.
f desse e <= f(199) =163. E f desse e <=
f(99)=162.
O unico numero tal que f(x)=x e 1.
Assim, a seq. vai ficar pulando no intervalo
[1,162], e como ele tem um numero finito de elementos, vai ou cair em um ciclo
ou cair no 1.
Pode-se, verificando todos os numeros ate 162,
provar ou disprovar que o unico desses ciclos e 4,16,37,58,89,145,42,20,4,... ,
mas deve ter um jeito mais interessante.
OBS: so por curiosidade, os numeros felizes ate
1000 sao (nao garanto as contas!) 1,
10,13,31,23,32,44,622,262,226,100,1000.
Para saber se um numero e feliz, basta iterar f ate
chegar a um numero de no maximo 3 algarismos.
Se um numero cair em um desses, ele e
feliz.
Se cair em outro numero <1000 e
infeliz.
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