Re: [obm-l] CRUEL

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

From: "Bruno F. C. Leite" <bruleite@terra.com.br>
> At 17:17 14/08/02 -0300, you wrote:
> >From: "Bruno F. C. Leite" <bruleite@terra.com.br>
> > > At 12:21 14/08/02 -0400, you wrote:
> > > >Num polígono convexo de n lados, quando se constrói todas as
diagonais
> > > >aparecem  pontos de interseção entre as diagonais. Determinar o
número de
> > > >pontos de interseção?
> > >
> > > Vamos supor que não há duas diagonais paralelas.
> > >
> > > Note que a cada ponto de intersecção podemos associar as duas
diagonais ou
> > > o quadrilátero formado pelos extremos destas diagonais. Logo há uma
> >bijeção
> > > entre o número de intersecções e o de quadriláteros com vértices
contidos
> > > no conjunto de vértices do poligono...logo a resposta é binomial(n,4).
> > >
> > > Está certo?
> > >
> > > Bruno Leite
> > > http://www.ime.usp.br/~brleite
> >
> >Mas e se dois quadriláteros distintos tiverem o mesmo ponto de interseção
> >das suas diagonais? Ou isso nunca ocorre por que nenhuma das diagonais é
> >paralelas, por hipótese sua?
>
> Bem, isto que vc disse nao segue da hipótese que eu coloquei (veja o
> octógono regular) mas é também uma hipotese necessária para que o problema
> não dependa da forma particular do poligono
> (dependa só de n)
>

Bruno,

eu não compreendi toda a discussão. Então vou recomeçá-la.

Num polígono de n lados, cujos pares de diagonais não são paralelos, existe
uma bijeção entre o número de interseções e o de quadriláteros com vértices
contidos no conjunto de vértices do poligono.

A minha pergunta deveria ter sido a seguinte: por que, sob essas hipóteses
(de o polígono ser convexo e nenhum par de diagonais ser paralelo), não
existem dois quadriláteros distintos com vértices contidos no conjunto de
vértices do polígono cujos pontos de interseção das diagonais são o mesmo
ponto?

Vai em anexo uma figura.

Em FIG 1: AE, BF, CG e DH são diâmetros. O problema do polígono ABCDEFGH é
que muitas das diagonais são paralelas.

Eu ACHO que trazendo A, B, C e D um pentelhésimo (em FIG 2) para dentro do
círculo, a gente pode fazer com que todas as diagonais deixem de ser
paralelas.
Daí teríamos o ponto central do círculo interseção das diagonais dos
quadriláteros ACEG e BDFH, o que invalidaria a bijeção do Bruno.

Mas essa é só uma impressão minha, não sei se de fato está certo esse meu
achismo.

Eduardo.

fig.bmp