Re: [obm-l] ???

["marcelo oliveira" <marcelo_rufino@xxxxxxxxxxx>]

Obs: == significa congruente

Repare que:

5^3 == 3 (mod. 61)   =>   5^3k == 3^k (mod. 61)   =>
5^(3k + 1) == 5.3^k (mod. 61)   =>   5^(3k + 2) == 25.3^k (mod. 61)

4^3 == 3 (mod. 61)   =>   4^3k == 3^k (mod. 61)   =>
4^(3k + 1) == 4.3^k (mod. 61)   =>   4^(3k + 2) == 16.3^k (mod. 61)

Subtraindo as respectivas congruências:

5^3k - 4^3k == 0 (mod. 61)
5^(3k + 1) - 4^(3k + 1) == 3^k (mod. 61)
5^(3k + 2) - 4^(3k + 2) == 3^(k + 2) (mod. 61)

Como mdc (3, 61) = 1  então nunca teremos uma potência de 3 que é divisível 
por 61.
Portanto, somente para n = 3k temos que 61 divide 5^n - 4^n.

Falou,
Marcelo Rufino


>From: "Laurito Alves" <lauritoalves@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] ???
>Date: Wed, 14 Aug 2002 13:17:27 +0000
>
>Eder,
>
>61 divide 5^n-4^n quando n é multiplo de 3 pois, nesse caso, n = 3k e
>
>5^n - 4^n = 5^(3k) - 4^(3k) = (5^3)^k - (4^3)^k = 125^k - 64^k =
>= (125 - 64)(125^(k-1) + 125^(k-2).64 + 125^(k-3).64^2 + ... + 64^(k-1))
>= 61 . ( .... )
>
>Falta provar que se n não é múltiplo de 3 então 61 não divide 5^n - 4^n.
>
>Laurito
>
>
>>From: "Eder" <edalbuquerque@uol.com.br>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>Subject: [obm-l] ???
>>Date: Tue, 13 Aug 2002 21:09:40 -0300
>>
>>Gostaria de ajuda neste problema:
>>
>>Determinar para que valores de n, inteiros e positivos ,tem-se  61|(5^n - 
>>4^n).
>>
>>
>>Obrigado.
>>
>>
>>
>>Eder
>>
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