Re: [obm-l] primitiva

["A.S.Munhoz" <munhoz_br@xxxxxxxxxxxx>]

Lamento pelos equívocos.
Com o Augusto: não vi a sua sugestão.
Com o Nicolau: vai alguma coisa sobre o tema. Confesso
a fraqueza da minha definição de elementar. Nem a raiz
de 2  pode ser calculada exatamente com um número
finito de operações de
+,-,* e /! 

Vou tentar uma resposta pelo menos parcial para a
pergunta, com a hipótese de que ser elementar
implica ser analítica.

"Em Wed, 31 Jul 2002 18:59:47 -0300, David
Turchick<davidturchick@hotmail.com> disse:
Alguém sabe se existe um jeito de descobrir se uma
determinada função 
integrável de R em R não tem primitiva elementar
(quero dizer, uma 
composição de funções polinomiais, exponenciais,
trigonométricas e suas 
inversas)?Um amigo meu me pediu p/ que eu achasse a
integral
de e^(2*sen(x)), pois 
havia caído numa prova sua de Cálculo 1 e ele não
havia conseguido. Como eu 
tb não tava conseguindo, resolvi colocar no Maple,
que me deu a maravilhosa 
resposta: integral de e^(2*sen(x))...Obrigado,David
"

Bom achei o seguinte no Ahlfors,Complex Analysis,
p.47: todas as funções elementares transcendentais
(dos complexos nos complexos) podem ser escritas em
termos de  e^z ou sua inversa
ln(z). 
Por exemplo, cos(z)=1/2(e^(iz)+e^(-iz)) ,
             sen(z)=1/2(e^(iz)-e^(-iz))
             
 o logaritmo definido por
   e^ln(z)=z , você pega para ln(z) aquele  com
argumento entre 0 e 2pi;
 
                arc cos(z)=+/- i*ln(z+sqrt(z^2-1))
                arc sen(z)=pi/2 -arc cos(z)
etc.

Pensando em funções dos complexos nos complexos,
Analítica é um termo técnico e significa
----
f analítica em a
f(z)=f(a)+f'(a)/1!(z-a)+f''(a)/2!(z-a)^2+...
para z numa bolinha em torno do a.
---

No seu caso, você começa com uma função de R em R.
Complexifica ela , pensa nela como uma função dos
complexos nos complexos. Exemplo x->sen(x)
penso em z->sen(z).  Vamos entender que você pensa em
ser expressa por funções elementares implica também
ser analítica depois que você complexifica. Se você
deriva uma analítica, chega numa analítica. 

Então olha sua função para achar primitiva. Se ela
não for analítica, você não vai achar uma primitiva
analítica.

Por exemplo, a função 
x->e^(-1/x^2) e 0 se x=0
não é análitica, 
pois
f(0)=f'(0)=f''(0)=...=0
então para a=0 a série acima dá zero, mas e^(-1/x^2)>0
quando x<>0. Mas é C^infinito.
Por exemplo, 
f'(0)=lim (e^[-1/x^2]-0)/(x-0) -> 0 quando x->0.

Então , não vai achar primitiva analítica e portanto 
elementar para ela.

Um abraço,
Munhoz  
  
  --- "Nicolau C. Saldanha"
<nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br> escreveu: > On Thu,
Aug 01, 2002 at 08:19:09PM -0300, Augusto
> César Morgado wrote:
> > Munhoz:
> > Não acredito que você não acredite que no último
> número da Matemática 
> > Universitária haja um artigo do Professor Daniel
> Cordeiro a respeito do 
> > assunto levantado pelo David.
> > Morgado
> > 
> > A.S.Munhoz wrote:
> > 
> > >Oi, augusto!
> > >
> > >Não acredito.
> > >E o que você chama de elementar, é um substituto
> para
> > >comum.
> 
> Não, elementar é um termo técnico e não significa
> "comum".
> 
> > >Eu entendo que elementar é toda função que pode
> > >ser calculada com um número finito de contas  de
> +,-,*
> > >e / .
> > >Não é o que ocorre, por exemplo, com a
> exponencial,
> > >pois
> > >e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+... .
> 
> A função exponencial é elementar (por definição de
> elementar).
> As funções log, trigonométricas e trigonométricas
> inversas
> também. Vale a pena você ler o artigo de que o
> Morgado falou
> ou alguma outra coisa sobre o mesmo tema.
> 
> []s, N.
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