Re: [obm-l] Ajuda - Limite....

[Carlos Frederico Borges Palmeira <fredpalm@xxxxxxxxxxxxxx>]

oi fernando , veja ai em baixo uma maneira de fazer.
Fred palmeira

On Wed, 26 Jun 2002, Fernando Henrique Ferraz P. da Rosa wrote:

>          Estou tentando resolver esse limite faz tempo mas não está saindo 
> de jeito algum.. É o seguinte:
>      lim [x -> 0+] x^(tan(x²)).
> 
> Meus esboços:
>              x -> 0... tan(x²) -> 0.... temos 0^0...
>              Colocando na forma exponencial: (exp(y) = e^(y)):
>               x^tan(x²) = exp(ln(x^tan(x²)) = exp(tan(x²).ln(x)).
>               Ficamos então com o seguinte limite:
>       lim [x-> 0+] tan(x²).ln(x).
>               tan(x²) -> 0
>               ln(x) -> -infinito
>               Temos entao 0.-infinito.. indeterminação...
>               'Transformando' isso numa fração para poder usarmos L'Hospital:
> a) Fazendo tan(x²).ln(x) = ln(x)/(1/tan(x²))


calcule o limite de (x^2)ln(x) usando l'hopital na fracao lnx/(1/x^2). e'
facil ver que da' zero.
 como tanx/x tem limite 1, tan(x^2).ln(x) tambem tem limite zero.
(ha' detalhes a preencher)





>                lim [x-> 0+] ln(x)/(1/tan(x²))
>                ln(x) -> -infinito
>                1/tan(x²))  = cotg(x²) -> infinito
>                 infinito/infinito outra indeterminacao.. aplicando L'Hospital:
>                 lim [x-> 0+] ln(x)/cotg(x²) = lim [x->0+] 
> (1/x)/-2x.cossec²(x²) =
>                 lim [x-> 0+] 1/(-2x²cossec²(x²))
>                 Agora temos -2x² -> 0
>                  e cossec²(x²) -> infinito...
>                 0.infinito.. mais uma indeterminacao....
>                 1/0.infinito.. Nao podemos mais aplicar L'Hospital e sei la 
> como sair daqui...
> 
> b) Outra opcao serial fazer tan(x²).ln(x) = tan(x²)/(1/ln(x)), dai:
>                  lim [x->0+] tan(x²)/(1/ln(x))..
>                   dai temos tan(x²) -> 0
>                    1/ln(x) -> 0
>                   0/0, indeterminação, aplicamos L'Hospital:
>                  lim [x->0+] tan(x²)/(1/ln(x)) = lim [x->0+] 
> 2x.sec²(x²)/(-1/ln²(x).x) =
>                  lim [x->0+] 2x².sec²(x²).ln²(x).x
>                  2x² -> 0
>                   sec²x² -> 1
>                   ln²(x) -> infinito
>                   x -> 0...
>                   0.1.0.infinito.. epa.. outra indeterminação...
> 
> c)... já esgotei todas as idéias que me vieram e ainda não consegui sair 
> disso.. alguem tem alguma luz?
> 
> BTW... a resposta é 1.. Então esse limite (lim [x-> 0+] tan(x²).ln(x)) tem 
> que dar 0.
> 
> 
> 
> "As long as a branch of science offers an abundance of problems,
>      so long it is alive."
>            David Hilbert.
> 
> -
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> mentus@gmx.de
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