Re: [obm-l] .....

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Oi Rafael,

essa questão deve estar vindo para a lista pela terceira vez. Existem várias
maneiras de resolvê-la. Primeiro você vê que se quer mostrar que (k^5 - k) é
divisível por 10. Depois mostra separadamente que (k^5 - k) é par, pois é
uma diferença de números de mesma paridade, e a seguir mostra que (k^5 - k)
é divisível por 5. Para ver isso use:

i) o pequeno teorema de Fermat
que diz que se p é primo (a^p - a) é divisível por p.

ii) é preciso que k seja da forma 5q, 5q+-1 ou 5q+-2, e calcula (k^5 - k)
expandindo k^5 pelo pelo binômio de Newton e vendo que o resultado é um
múltiplo inteiro de 5.

Uma maneira mais mecânica e mais acessível aos alunos (médios) de 5a. e 6a.
séries é calcular o último algarismo de k^5 para cada algarismo das unidades
de k(0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9) e reparar que o resultado de k^5 tem o mesmo
algarismo das unidades que k, e daí a diferença é sempre divisível por 10
pois o número termina em zero.

Ainda uma quarta maneira é fatorando
(k^5 - k) = k(k^4 - 1) = k(k^2 + 1)(k^2 - 1) = k(k^2 + 1)(k + 1)(k - 1)
e reparando que se k é das formas 5q, 5q+-1 então na expressão acima vai
aparecer um 5q (por causa de k, (k+1) e (k-1) e se k for da forma 5q+-2
então (k^2 + 1) vai ser múltiplo de 5.

Enfim, várias maneiras.

Muitas questões já propostas na lista (sobre divisibildade) tem uma solução
muito parecida com essa, pois envolvem a aritmética dos inteiros (o uso de
congruência e outras coisas) discutida, por exemplo, no livro do Nicolau e
do Gugu sobre primos de Fermat e outros primos grandes.

Um abraço!

Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.



From: "rafaelc.l" <rafaelc.l@bol.com.br>
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>  (IME- 2000) Prove que para qualquer número inteiro k, os
> números k e k^5 terminam sempre com o mesmo algarismo(
> algarismo das unidades).
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