Re: [obm-l] abc + p = 0

["Eric Campos Bastos Guedes" <mathfire@xxxxxxxxx>]

> Oi Pessoal!
>
> "Sejam a, b, c, p quatro numeros reais dados tais que
> a, b e c não sejam simultaneamente iguais e:
> a + 1/b = b + 1/c = c + 1/a = p
>
> Qual o valor de (abc + p)?"
>
a + 1/b = b + 1/c acarreta
(a - b) = 1/c - 1/b = (b - c)/bc

logo

[1]    (a - b) = (b - c)/bc

analogamente

[2]    (b - c) = (c - a)/ac
[3]    (c - a) = (a - b)/ab

note que se a = b ou b = c ou c = a então a = b = c. Logo a, b, c sao dois a
dois distintos.
Multiplicando [1], [2] e [3] tem-se

(a-b)(b-c)(c-a) = (b-c)(c-a)(a-b)/(abc^2)

donde, cancelando

1 = 1/(abc^2) e

abc = 1 ou abc = -1

(i)    Suponha que abc = -1. Entao

p = a + 1/b = a - (abc)/b = a - ac, entao

p = a - ac e analogamente
p = b - ba
p = c - cb

logo

p + abc = (a-ac) + abc =  a(1-c+bc) = a(1 - (c-bc)) =
= a(1 - p), isto eh p+abc = a(1-p), entao

p + abc = a(1-p) = b(1-p) = c(1-p)

como a,b,c sao distintos, p = 1 logo

p + abc = 1 - 1 = 0

(ii)    Suponha que abc=1

p = a + 1/b = a + abc/b = a + ac, logo

p = a + ac e analogamente

p = b + ab
p = c + bc

entao

p + abc = (a+ac) + abc = a(1+c+bc) = a(1 + p), isto eh

p+abc = a(1 + p), analogamente

p+abc = b(1 + p)
p+abc = c(1 + p)

logo

a(1+p)=b(1+p)=c(1+p)

como a,b,c sao distintos, entao p = -1 (e abc =1) donde

p + abc = -1 + 1 = 0

Abrac,os,

Eric.

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