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Re: [obm-l] Desafio
Caro Rodrigo Villard,
em verdade faltou um detalhe bobo:
P>=2^(n+1) n�o implica que P>2^(n+1)
mesmo assim podemos consertar facilmente pois nem todas as desigualdades 1 +
a_i >= 2 RAIZ( a_i ) podem ser igualdades simultaneamente, ja que para isso
ocorrer teriamos de ter todos os a_i's iguais a 1. Portanto a conclusao pode
ser
P>2^(n+1)
e o problema esta todo resolvido pelo colega.
Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.
PS. s� um outro detalhe, a desigualdade P >= (1 + RAIZ_n( 4 ))^n �
verdadeira! O que n�o � verdadeira � minha conclus�o final. Mas � claro que
para os prop�sitos da quest�o a solu��o do Villard satisfaz muito mais pois
� direta ao resultado, mais curta e utiliza menos recursos. � muito mais
objetiva.
From: "Rodrigo Villard Milet" <villard@vetor.com.br>
> Use que 1+a(i) >=2sqrt[a(i)]. Fazendo o produto dessas n equa��es, temos
que
> P >=2^n * sqrt[ produto a(i) ] = 2^n * 2 = 2^(n+1). RESPOSTA : C.
> Villard
> -----Mensagem original-----
> De: Eduardo Casagrande Stabel <dudasta@terra.com.br>
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Data: Quinta-feira, 6 de Junho de 2002 23:09
> Assunto: Re: [obm-l] Desafio
>
>
> >Caro Bruno,
> >
> >a nota��o que voc� usou n�o est� muito leg�vel. Seria melhor adotar
�ndices
> >para os a's, por exemplo: a_1, a_2, a_3, ..., a_n. Para fazer
exponencia��o
> >geralmente se usa "^", a� as alternativas seriam P>2^(n+3), P>5^n, e
assim
> >por diante.
> >
> >Quanto ao problema. Existe uma desigualdade, que aprendi a demonstrar por
> >indu��o (e talvez voc� j� conhe�a ou queira provar como exerc�cio) que
diz
> >que se a_1, a_2, ..., a_n s�o n�meros n�o-negativos ent�o
> >
> >(1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) >= 1 + (a_1*a_2*...*a_n)
> >
> >com a igualdade se e so se todos os a_i's forem iguais a zero.
> >
> >No caso do seu problema. Temos
> >
> >P = (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) > 1 + (a_1*a_2*...*a_n) = 5.
> >
> >Isso claramente n�o resolve o problema. Uma estrat�gia mais interessante
me
> >parece procurar pelo valor m�nimo de P, ap�s fixado o n.
> >
> >Fazendo a multiplica��o, temos
> >
> >P = (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) = 1 + [a_1+a_2+...+a_n] +
> >[a_1a_2+a_1a_3+...+a_(n-1)a_n] + ... + [a_1a_2...a_n]
> >
> >No primeiro colchetes temos os n termos a's solit�rios.
> >No segundo colchetes temos os produtos de pares de a's.
> >No terceiro, o produto de trincas. E assim por diante.
> >Vamos aplicar a desigualdade: m�dia aritm�tica >= m�dia geom�trica em
cada
> >um dos colchetes.
> >
> >P >= 1 + n*[RAIZ_n {a_1a_2...a_n}] + n(n-1)/2*[RAIZ_n(n-1)/2
> >{(a_1a_2...a_n)^(n-1)}] + ... + [a_1a_2...a_n]
> >
> >De forma mais compacta
> >
> >P >= 1 + SOMAT�RIO{ k=1...n : C(n,k) * RAIZ_C(n,k) {
> >(a_1a_2...a_n)^(C(n-1,k-1)) } } =
> >1 + SOMAT�RIO{ k=1...n : C(n,k) * (RAIZ_n (4^k) }
> >= (1 + RAIZ_n(4))^n
> >
> >((Revisem as contas, fiz de modo simplificado))
> >
> >Basta mostrar que a igualdade ocorre se e somente se a_1=a_2=...a_n, mas
> >isso � claro por termos usado a desigualdade m�dia aritm�tica e
geom�trica.
> >
> >Portanto P >= (1 + RAIZ_n(4))^n e a igualdade pode ocorrer para cada n.
> >
> >Com isso fica f�cil de ver que qualquer exponencial do tipo a^n (onde
a>1)
> >vai acabar superando P para algum n suficientemente grande, repare que 1
+
> >RAIZ_n(4), a "base" da nossa exponencial se aproxima de 1 a medida que n
> >cresce. De modo que nem a) nem b) nem c) nem d) s�o verdadeiras. Logo a
> >alternativa correta � e).
> >
> >Um abra�o!
> >
> >Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.
> >
> >
> >>From: Bruno
> >>
> >>Eu n�o consegui fazer este exerc�cio do ITA e desafio todos dessa lista:
> >>"Suponha a', a'', ....., an s�o n�meros reais positivos, com n>2 e que
> >>a'.a''.a'''....an=4
> >>Nesta situa��o, a repeito do produto:
> >>P=(1+a')(1+a'').......(1+an) temos:
> >> n+3
> >>a.)P>2
> >> n
> >> b.)P>5
> >> n+1
> >> c.)P>2
> >> n+1
> >>d.)P>5
> >> e.)n.d.a.
> >>
> >
> >
> >=========================================================================
> >Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >O administrador desta lista � <nicolau@mat.puc-rio.br>
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