[obm-l] Re: [obm-l] Varia��o na quest�o do IME: x=sqrt(a-sqrt(a-x))

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

Fazendo y = sqrt(a-x), temos que x = sqrt(a-y).
Da�, segue o sistema :
y� = a - x   (i)
x� = a - y   (ii)
Subtraindo... (y-x)(y+x) = y-x.
Ent�o, ou x=y, ou x+y=1. A pergunta � : quando que x+y=1 � imposs�vel ?
x+y=1 ... y = 1-x ...  1-x = sqrt(a-x) ... 1 - 2x + x� = a - x ... x� - x +
(1-a) = 0. Essa equa��o n�o possui ra�zes reais se e s� se 1 - 4(1-a) < 0,
ou seja, a < 3/4. E � f�cil ver que se a<0, o problema n�o tem solu��o. Logo
0 < a < 3/4.
Bem... para achar mais "a" que s�o solu��o para o seu problema, eu deveria
aceitar o caso em que a equa��o x� - x + (1-a) = 0 admite apenas solu��es
negativas, pois � claro que x >= 0 ( Al�m disso, x <= a ).
Seja f(x) = x� - x + (1-a). A soma das ra�zes � positiva, logo s� podemos
ter uma negativa. Ent�o o caso que nos interessa � qd uma raiz � <0 e outra
>a. Assim, temos que f(0) > 0 e f(a) > 0.
f(0) > 0 ... 1-a > 0... a < 1
f(a) > 0 ... a� - 2a + 1...
Ent�o n�o temos problemas com isso... parece que a solu��o � de fato 0 < a <
3/4.
Aguardo coment�rios.
Abra�os,
  Villard





-----Mensagem original-----
De: Ralph Teixeira <RALPH@fgv.br>
Para: Obm (E-mail) <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Segunda-feira, 3 de Junho de 2002 15:09
Assunto: [obm-l] Varia��o na quest�o do IME: x=sqrt(a-sqrt(a-x))


> Ol�, galera.
>
> Um colega nosso da lista, o Cl�udio, destacou que eu havia me
>enganado quando disse que a equa��o
>
> x=sqrt(5-sqrt(5-x))
>
> tem *DUAS* solu��es. Ele tem raz�o -- apesar de eu ainda defender o
>fato de que voc� N�O PODE SIMPLESMENTE DIZER QUE x=sqrt(5-x), o meu m�todo
>acaba por gerar apenas uma raiz de qualquer forma (eu havia cometido um
erro
>de �lgebra que o Cl�udio encontrou).
>
> Por exemplo, a equa��o x=sqrt(0.8-sqrt(0.8-x)) tem 3 ra�zes reais
>(voc� consegue encontr�-las?). Apenas *1* delas � encontrada fazendo
>x=sqrt(0.8-x).
>
> Minha perguntinha para a galera � ent�o: para que valores de a as
>equa��es
>x=sqrt(a-sqrt(a-x)) e x=sqrt(a-x) s�o equivalentes?
>
> Divirtam-se!
>
> Abra�o,
> Ralph
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>Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista � <nicolau@mat.puc-rio.br>
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