[obm-l] Re: [obm-l] Variação na questão do IME: x=sqrt(a-sqrt(a-x))

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

Fazendo y = sqrt(a-x), temos que x = sqrt(a-y).
Daí, segue o sistema :
y² = a - x   (i)
x² = a - y   (ii)
Subtraindo... (y-x)(y+x) = y-x.
Então, ou x=y, ou x+y=1. A pergunta é : quando que x+y=1 é impossível ?
x+y=1 ... y = 1-x ...  1-x = sqrt(a-x) ... 1 - 2x + x² = a - x ... x² - x +
(1-a) = 0. Essa equação não possui raízes reais se e só se 1 - 4(1-a) < 0,
ou seja, a < 3/4. E é fácil ver que se a<0, o problema não tem solução. Logo
0 < a < 3/4.
Bem... para achar mais "a" que são solução para o seu problema, eu deveria
aceitar o caso em que a equação x² - x + (1-a) = 0 admite apenas soluções
negativas, pois é claro que x >= 0 ( Além disso, x <= a ).
Seja f(x) = x² - x + (1-a). A soma das raízes é positiva, logo só podemos
ter uma negativa. Então o caso que nos interessa é qd uma raiz é <0 e outra
>a. Assim, temos que f(0) > 0 e f(a) > 0.
f(0) > 0 ... 1-a > 0... a < 1
f(a) > 0 ... a² - 2a + 1...
Então não temos problemas com isso... parece que a solução é de fato 0 < a <
3/4.
Aguardo comentários.
Abraços,
  Villard





-----Mensagem original-----
De: Ralph Teixeira <RALPH@fgv.br>
Para: Obm (E-mail) <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Segunda-feira, 3 de Junho de 2002 15:09
Assunto: [obm-l] Variação na questão do IME: x=sqrt(a-sqrt(a-x))


> Olá, galera.
>
> Um colega nosso da lista, o Cláudio, destacou que eu havia me
>enganado quando disse que a equação
>
> x=sqrt(5-sqrt(5-x))
>
> tem *DUAS* soluções. Ele tem razão -- apesar de eu ainda defender o
>fato de que você NÃO PODE SIMPLESMENTE DIZER QUE x=sqrt(5-x), o meu método
>acaba por gerar apenas uma raiz de qualquer forma (eu havia cometido um
erro
>de álgebra que o Cláudio encontrou).
>
> Por exemplo, a equação x=sqrt(0.8-sqrt(0.8-x)) tem 3 raízes reais
>(você consegue encontrá-las?). Apenas *1* delas é encontrada fazendo
>x=sqrt(0.8-x).
>
> Minha perguntinha para a galera é então: para que valores de a as
>equações
>x=sqrt(a-sqrt(a-x)) e x=sqrt(a-x) são equivalentes?
>
> Divirtam-se!
>
> Abraço,
> Ralph
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