Re: [obm-l] Duvidas diversas sobre diversos

["Marcelo Rufino de Oliveira" <marcelo_rufino@xxxxxxxxxxx>]

> Ola turma!!!Faz um bom tempo  que eu nao escrevo para a lista da OBM.E vou
> chegar metendo bala:

> 01)Sejam a,b,c,d reais nao negativos tais que ab+bc+cd+da=1.Prove
> que (a^3/b+c+d)+(b^3/a+c+d)+(c^3/a+b+d)+(d^3/a+b+c)>=1/3 e determine a
igualdade.

Seja A = b + c + d,  B = a + c + d,  C = a + b + d  e  D = a + b + c.
Como  (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - d)^2 + (d - a)^2 >= 0   =>
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 >= ab + bc + cd + da = 1     (1)
Suponha que a >= b >= c >= d   =>
a^3 >= b^3 >= c^3 >= d^3   e   1/A >= 1/B >= 1/C >= 1/D.
Assim, pela desigualdade de Chebyshev:
a^3/A + b^3/B + c^3/C + d^3/D >= (a^3 + b^3 + c^3 + d^3)(1/A + 1/B + 1/C +
1/D)/4   (2)

Também pela desigualdade de Chebyshev:
a^3 + b^3 + c^3 + d^3 >= (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)(a + b + c + d)/4   (3)

Note também que  3(a + b + c + d) = A + B + C + D   (4)

Pela desigualdade entre as médias aritmética e geométrica temos que
(A + B + C + D)(1/A + 1/B + 1/C + 1/D) >= 16   (5)

(1), (2), (3), (4) e (5)   =>
a^3/A + b^3/B + c^3/C + d^3/D >= (A + B + C + D)(1/A + 1/B + 1/C + 1/D)/48
>= 16/48 = 3

A igualdade ocorre quando A = B = C = D   =>   a = b = c = d.


Até mais,
Marcelo Rufino de Oliveira


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