Re: [obm-l] unicidade de polinomios

[Carlos Frederico Borges Palmeira <fredpalm@xxxxxxxxxxxxxx>]

oi gabriel, 
 o sua professora de fato escorregou na utilizacao do principio da
inducao. A forma usual e' provar que vale para n=0, e provar que se vale
para n entao vale para n+1. Outra forma e' provar que vale para n=0 e
provar que se vale para todo k de 0 a n , entao vale para n+1.
Apaarentemente ela disse que ia usar a 1a e de fato usou a 2a. Como voce
observou a 1a forma e' insuficiente para esta demonstracao. na passagem
destacada abaixo, e' de fato necessario a 2a forma.
[]s 
Fred Palmeira 





On Tue, 28 May 2002 ghaeser@zipmail.com.br wrote:

> Olá pessoal da lista,
> me surgiu uma dúvida durante uma aula de análise que a professora nao conseguiu
> tirar..
> 
> Seja f(x)=a0+a1x+..+anx^n, g(x)=b0+b1x+..+bnx^n polinômios de grau n, onde
> f(x)=g(x) qualquer que seja x, prove que ai=bi para i=0,..,n .. para todo
> n natural.
> 
> demonstração da professora:
> 
> seja h(x)=f(x)-g(x)=0 para todo x real, por hipotese
> logo como h(0)=0 entao a0=b0
> por inducao, suponha que a(n-1)=b(n-1), logo, como h(1)=0 temos:
> a0+..+a(n-1)+an=b0+..+b(n-1)+bn,
para passar para a proxima linha precisa supor verdade para todo k de 0 a
n.
************************************
 como
> a0+..+a(n-1)=b0+..+b(n-1), temos que an=bn
****************************************

> 
> logo, por indução temos que vale para todo n
> 
> minha dúvida é:
> 
> seja um polinomio h(x) de grau n, onde h(0)=0 e h(1)=0, prove que a0=a1=..=an=0
> para todo n.
> 
> obviamente isto é falso, mas eu consigo demonstrar utilizando a prova dela..
> por isso acho q tem alguma coisa errada com a hipotese de inducao .. talvez
> deva haver uma inclusao da hipotese de haver n+1 zeros para o grau n ..
> tentei explicar isto para ela, mas ela nao concordou .. será que alguém
> pode me ajudar ??
> 
> muito obrigado !!
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