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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] valor mínimo



Não é um AR-15 pra matar uma formiga?
Planificando o cubo, basta calcular a medida da diagonal de um retângulo de lados medindo 1 e 1+1=2.
resposta: sqrt(5).
----- Original Message -----
From: Eder
Sent: Monday, May 20, 2002 6:58 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] valor mínimo

Valeu Ralph,
 
 
Essa expressão surgiu do seguinte problema: detrerminar o menor caminho que uma formiguinha pode fazer por sobre a superfície de um cubo de aresta 1,de um vértice a outro "diagonalmente oposto".
 
Eu admiti uma trajetória genérica e cheguei a esse valor para o caminho.Eu já imaginava que a=1/2,mas queria provar algebricamente.
----- Original Message -----
Sent: Monday, May 20, 2002 3:55 PM
Subject: [obm-l] RES: [obm-l] valor mínimo

É possível sim.
 
1) Via cálculo
 
Derive a expressão com relação a "a", iguale a zero, dá uma equação meio feia mas sai que a=1/2;
 
    1.1) Cálculo incrementado
    Note que, se f(x)=sqrt(1+(1-x)^2)+sqrt(1+x^2), então f(x)=f(1-x), isto é, o gráfico da função é simétrico com relação à reta x=1/2. Isto sugere fazer y=x-1/2, e então f(y)=sqrt(1+(y-1/2)^2)+sqrt(1+(y+1/2)^2). Os cálculos aqui já são um pouco mais simples... Dá até para fazer a partir daqui sem cálculo, com mágica....
 
2) Por geometria
 
...mas se você quer uma maneira BEM mágica de fazer, pense assim:
 
f(a)=sqrt(1+(1-a)^2)+sqrt(1+a^2) é a soma das distâncias do ponto (1,a) aos pontos (0,1) e (2,0). Em outras palavras, queremos o ponto P(1,a) na reta x=1 que minimiza as somas das distâncias aos pontos B(0,1) e C(2,0) -- que são fixos e se encontram um de cada lado da reta! Ora, o menor caminho BPC é o segmento de reta que liga B a C! Assim, o mínimo se dá quando B,P e C estão alinhados; note que, então, P será o ponto médio de BC, isto é, a=1/2.
 
Legal?
 
Abraço,
        Ralph
 
 -----Mensagem original-----
De: Eder [mailto:edalbuquerque@uol.com.br]
Enviada em: sexta-feira, 17 de maio de 2002 21:34
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] valor mínimo
Olá,
 É possível determinar para que valor de a,tem-se y= sqrt( 1+ (1-a)²) + sqrt(1+ a²) mínimo?