Re: [obm-l] Lista para treino....

["Bruno F. C. Leite" <bruleite@xxxxxxxxxxxx>]

At 19:26 13/05/02 -0400, you wrote:
>1)Em uma dessas listas pra treino para olimpíadas, o sujeito pede para 
>calcularmos a soma de todos os divisores positivos de n? Existe alguma 
>fórmula para isso?

existe, em termos da fatoração de n em primos. Fica fácil se vc provar que 
se mdc(a,b)=1, então soma_divisores(a) 
soma_divisores(b)=soma_divisores(ab). (e aí só falta saber 
soma_divisores(p^n), onde p é primo- mas isso é fácil mesmo)

>2)Sendo N o número de divisores positivos de n, determine, em função de n 
>e N o produto de todos os divisores de n.

Se d divide n, n/d divide n. Agrupe os divisores dessa forma...(não esqueça 
o caso em que n é quadrado)

>3)Mostre que qualquer P.A, não constante, de inteiros possui uma 
>infinidade de valores compostos.

Suponha que só possua finitos valores compostos. Então, a partir de um 
ponto, todos os valores da PA são primos. Seja a+kb a sua PA, com 
k=0,1,2.... Se k>=k_0, então a+bk é primo. Temos que a deve ser ímpar e b 
par. Tome k=ak_0>=k_0. Então a+bak_0 é primo, logo a=1. Agora tomando
k=2b^(n-1)+b^(2n-1), a+bk=1+2b^n+b^(2n)=(b^n+1)^2 é primo se n for 
suficientemente grande, o que é absurdo.

Está confuso (e deve ter solução mais simples) mas acho que está certo.

Bruno Leite
http://www.ime.usp.br/~brleite


>    Agradeço de antemão a quem resolver.
>                           Crom

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