Re: [obm-l] Análise

[Salvador Addas Zanata <sazanata@xxxxxxxxxx>]

Se f e derivavel em (a,b), entao vale o seguinte teorema, conhecido como
do valor medio:


Dado x,y em (a,b), com x<>y, entao existe z em (x,y), tal que :


f(x)-f(y)=f'(z)(x-y)


Aplicando isso ao seu problema, dado x em (a,b], entao existe z=z(x), tal
que:

f(x)-f(a)=f'(z)(x-a), com z em (a,x)


Entao f'(z)=g(x).


Agora, se o que voce queria mesmo era ver uma demonstracao do teorema do
valor medio, e so olhar qualquer livro de calculo 1. Uma ideia besta e a
seguinte:

Primeiro voce pode provar que se f(a)=f(b), entao existe c em (a,b) com
f'(c)=0, se f e derivavel. O teorema geral sai a partir desse com um
truquinho besta. Pra "provar" esse, observe que em [a,b], f tem maximo e
minimo, pelo teorema de Weierstrass. Se f' nao se anula, entao o maximo e
minimo sao os pontos do bordo (aqui esta o ponto onde eu troco 6 por meia 
duzia), mas como f(a)=f(b), entao a funcao e constante. 


Isso e so uma ideia infame, mas a prova tem em qualquer livro. 


Abraco,

Salvador



On Sat, 15 Dec 2001, Hamilton Rodrigues wrote:

>     Alguém pode me ajudar com esta?
> 
>     Seja uma função f, derivável no intervalo (a,b).
>     
>     Definimos uma nova função g(x)=[f(x)-f(a)]/(x-a) , x<>a, g(a)=f ´(a). 
>     
>     Demonstrar que f ´ toma qualquer valor compreendido entre f ´(a) e g(b) no intervalo (a,b).
> 

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