Re: [obm-l] PRIMEIRO PROBLEMA PARA TODOS

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Dirichlet e demais
colegas desta lista,

As hipoteses que voce esta usando

1) TRES PRIMOS dois a dois distintos
2) RAIZES CUBICAS

sao muito restritas ... Voce pode fazer uma afirmacao muito mais geral e que 
demanda uma demonstracao igualmente simples. Para que voce possa ver isso 
rapidamente perceba que os termos de uma PA sao sempre da forma

Y1 = A + B*N , N = {1,2,...}

Isto e, os termos que uma PA - falando do grafico - estao sobre uma reta. Ja 
a curva

Y2 = X^(1/N)

e convexa para X > 0. Assim, para X > 0, a reta Y1 so podera cortar a curva 
Y2 em, no máximo, 2 pontos ... Claramente que isso sugere um enunciado do 
tipo :

Sejam A, B e C tres reais quaisquer, positivos. Mostre que as suas raizes 
N-esimas jamais poderao ser termos de uma mesma PA.

E claro que uma prova para este fato inclui, como caso particular, o 
fenomeno que voce descreveu, vale dizer, o fato de que as raizes cubicas de 
tres primos, dois a dois distintos, jamais poderao ser termos de uma mesma 
PA.

Cuidado quando for delimitar as hipotese de trabalho ... AS RAIZES N-ESIMAS 
DE POTENCIAS N-ESIMAS FORMAM UMA PA !

RESGUARDADAS AS DEVIDAS HIPOTESES,  Uma caminho de demonstracao pode ser o 
seguinte :

1) Supondo que A < B < C sao reais distintos e que RAIZ_N(A), RAIZ_N(B) e 
RAIZ_N(C) sao PA entao existem naturais D, E e F tais que :

( RAIZ_N(B) - RAIZ_N(A))/(RAIZ_N(C) - RAIZ_N(B)) = (D-E)/(F-E)

2) O fato acima , acrescido de resultados basicos sobre semelhanca de 
triangulo, vai implicar que as raizes N-esimas estao alinhadas ... isso vai 
entrar em contradicao com o fato de Y2=X^(1/N) ser convexa. Os detalhes 
ficam como exercicio.

E interessante registrar que muitas coisas que sao complicadas 
analiticamente ficam simples quando olhamos para os graficos, que costumam 
nos falar como se pronunciassem milhares de palavras. Para ver isso, respoda 
o seguinte :

E verdade que para todo N > 1 existem naturais A, B e  C com A < B < C tais 
que RAIZ_N(A), RAIZ_N+1(B) E RAIZ_N+2(C) estao em uma PA (reta) ?


Um abraco
Paulo Santa Rita
5,1304,250402







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>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] PRIMEIRO PROBLEMA PARA TODOS
>Date: Tue, 23 Apr 2002 17:22:53 -0300
>
>Prove que nao e possivel que 3 raizes cubicas de primos diferentes possam
>ser termos(nao necessariamente consecutivos)de uma mesma PA.
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