[obm-l] Re: [obm-l] alguém sabe?

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Rui e demais
membros desta lista,

Para um N natural maior que 1, a sequencia em foco pode ser definida como 
segue :

T(0) = N^(1/N)
T(P+1) = [ N^(1/N) ]^T(P)

O que voce que saber e o LIM T(P), quando P tende ao infinito.
Me parece evidente o seguinte :

T(P) < N, Para todo natural P
T(P+1) > T(P), Para todo natural P

ABRE PARENTESES :

Para voce se convencer rapidamente das duas relacoes acima basta perceber 
que qualquer N pode ser posto sucessivamente como :

N=(N^(1/N))^N=(N^(1/N))^(N^(1/N))^N=(N^(1/N))^(N^(1/N))^(N^(1/N))^N=...

Como N > 1 e o expoente topo de T(P) e N^(1/N) e N^(1/N) < N segue que
T(P) < N e T(P+1) > T(P)

FECHA PARENTESES.

Segue que a sequencia e CRESCENTE E LIMITADA SUPERIORMENTE. Logo, por um 
conhecido Teorema de Analise, ELA E CONVERGENTE. Mas ... converge pra onde ? 
Pra que numero ?

Agora a heresia ... Suponha que T(P) converge para um numero diferente de N. 
Seja Q esse numero. Claramente que 1 < Q < N. Teriamos :

LIM T(P)=Q => Q^N=N^Q

A equacao da direita e mais tratavel e permite raciocinar em cima de 
graficos e com raciocinios topologicos. A titulo de exemplificacao :

Para N=3, analisar graficamente x^3=3^x
Para N=4, analisar graficamente x^4=4^x

e assim sucessivamente. Mas, sem duvida, mesmo que pensando assim 
conseguimos dar uma nova feicao ao problema e torna-lo talvez mais tratavel, 
havemos de admitir que ha um ar de anormalidade na passagem em que tratamos 
uma exponenciacao infinita como finita.

T(P) e bem comportada e para um numero finito de radicais-expoente a 
passagem anormal funciona bem. Um justificativa por produtos deve ser muito 
trabalhosa e seria uma tecnica de justificacao, nao de descoberta : e eu nao 
acho que esta questao mereca um tal investimento ...

Com os melhores votos
de paz profunda, sou

Paulo Santa Rita
6,1710,120402



>From: "Rui Viana" <ruilovlist@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] alguém sabe?
>Date: Fri, 12 Apr 2002 13:49:26 -0300
>
>Olá a todos da lista,
>Outro dia um amigo meu me apresentou o seguinte problema :
>Qual a solução para a equação x^x^x^x...=2 ?
>Bom, a principio x^x^x...=2 => x^2 = 2 => x = 2^(1/2)
>Mas a equação x^x^x...=4 teria então a solução x = 4^(1/4) = 2^(1/2) ???
>Então agente fez um teste e descobriu que (2^(1/2))^(2^(1/2))... converge
>para 2 e não para 4 (não provamos isso)
>Daí agente decidiu tentar :
>Já que seguindo essa linha de raciocinio x^x^x...=n tem solução x=n^(1/n),
>faça f(n) = n^(1/n).
>Eu queria saber para que valor g(n) = f(n)^f(n)^f(n)... converge ??
>Parece que pra 0<n<1/e g é uma função concava, 1/e<n<e g(n)=n e depois  
>para
>n>e g(n) é convexa e converge para algum valor.
>Alguém consegue provar qualquer desses fatos sobre g(n) ?
>[]'s,
>                    Rui L Viana F
>                    ruilov@mit.edu
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