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["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, Mar 23, 2002 at 03:03:39PM -0300, Marcelo Ferreira wrote:
>   Aproveitando o ensejo, já que se falou em teorema fundamental da Álgebra,
> alguém sabe quantas demonstrações distintas foram dadas por Gauss e qual a
> demonstração conhecida nos dias atuais que chega mais perto de uma
> demonstração exclusivamente algébrica?

Gauss provou --- em essência --- o seguinte teorema, enunciado aqui
em linguagem mais moderna. Estes resultados são considerados álgebra pura
pelo conceito moderno de álgebra.

  Definição:

  Seja K um corpo ordenado. Se K satisfaz as seguintes condições:
     (a) se x > 0 pertence a K então existe y em K com y^2 = x;
     (b) todo polinômio de grau ímpar com coeficientes em K admite raiz em K;
  então K é chamado de corpo real fechado.

  Teorema:

  Se K é um corpo real fechado então K[i] é algebricamente fechado.

Assim podemos dar uma demonstração quase exclusivamente algébrica,
os únicos lugares em que usamos a hipótese de R ser completo
não envolvem nada que um aluno de cálculo 1 não entenda.

Isso tudo está explicado em datalhes no livro de álgebra do Van der Waerden,
entre outros.

[]s, N.

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