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Re: Re:[obm-l] como posso resolver ?
Abaixo utilizarei as incógnitas X, n, m, k, t, a, todos inteiros.
Seja X = 5^n + n^5
Para X ser múltilplo de 13, 5^n + n^5 == 0 (mod 13), ou seja:
5^n == -n^5 (mod 13) (conclusao 1)
5^2 == 25 == (-1) (mod 13)
5^3 == (-5) (mod 13)
5^4 == 1 (mod 13)
5^(4m) == 1^m == 1 (mod 13) (conclusao 2)
5^(4m+1) == 5 (mod 13) (conclusao 3)
5^(4m+2) == 25 == (-1) (mod 13) (conclusao 4)
5^(4m+3) == (-5) (mod 13) (conclusao 5)
5^12 == 1^3 == 1 (mod 13)
5^13 == 5 (mod 13)
5^(13k) == 5^k (mod 13)
5^(13k+a) == 5^(k+a) (mod 13) (Conclusao 6)
Dividindo em casos:
1) n = 13k ; n == 0 (mod 13) --> n^5 == 0 (mod 13) ; 5^(13k) == 5^k (mod
13)
Da conclusao 1, vem: 5^k == 0 (mod 13) (IMPOSSÍVEL)
2) n = 13k + 1; n == 1 (mod 13) --> n^5 == 1^5 == 1 (mod 13) ; 5^(13k+1) ==
5^(k+1) (mod 13)
Da conclusao 1, vem: 5^(k+1) == (-1) (mod 13)
Da conclusao 4, vem que (k+1) = (4m + 2), ou seja, k = 4m + 1
Mas n = 13k+1, logo n = 13(4m+1) + 1 = 52 m + 14 (1a SOLUCAO)
3) n = 13k + 2; n == 2 (mod 13) --> n^5 == 2^5 == 6 (mod 13) ; 5^(13k+2) ==
5^(k+2) (mod 13)
Da conclusao 1, vem: 5^(k+2) == (-6) (mod 13) (IMPOSSÍVEL)
4) n = 13k + 3; n == 3 (mod 13) --> n^5 == 3^5 == 9 (mod 13) ; 5^(13k+3) ==
5^(k+3) (mod 13)
Da conclusao 1, vem: 5^(k+3) == (-9) (mod 13) (IMPOSSÍVEL)
5) n = 13k + 4; n == 4 (mod 13) --> n^5 == 4^5 == 10 (mod 13) ; 5^(13k+4) ==
5^(k+4) (mod 13)
Da conclusao 1, vem: 5^(k+4) == (-10) == 3 (mod 13) (IMPOSSÍVEL)
6) n = 13k + 5; n == 5 (mod 13) --> n^5 == 5^5 == 5 (mod 13) ; 5^(13k+5) ==
5^(k+5) (mod 13)
Da conclusao 1, vem: 5^(k+5) == (-5) (mod 13)
Da conclusao 5, vem que (k+5) = (4m + 3), ou seja, k = 4m - 2
Mas n = 13k+5, logo n = 13(4m-2) + 5 = 52 m - 21 (2a SOLUCAO)
7) n = 13k + 6; n == 6 (mod 13) --> n^5 == 6^5 == 2 (mod 13) ; 5^(13k+6) ==
5^(k+6) (mod 13)
Da conclusao 1, vem: 5^(k+6) == (-2) (mod 13) (IMPOSSÍVEL)
8) n = 13k + 7; n == 7 (mod 13) --> n^5 == 7^5 == 11 (mod 13) ; 5^(13k+7) ==
5^(k+7) (mod 13)
Da conclusao 1, vem: 5^(k+7) == (-11) == 2 (mod 13) (IMPOSSÍVEL)
9) n = 13k + 8; n == (-5) (mod 13) --> n^5 == (-5)^5 == (-5) (mod 13) ;
5^(13k+8) == 5^(k+8) (mod 13)
Da conclusao 1, vem: 5^(k+8) == 5 (mod 13)
Da conclusao 3, vem que (k+8) = (4m + 1), ou seja, k = 4m - 7
Mas n = 13k+8, logo n = 13(4m-7) + 8 = 52 m - 83 (3a SOLUCAO)
10) n = 13k + 9; n == (-4) (mod 13) --> n^5 == (-4)^5 == (-10) (mod 13) ;
5^(13k+9) == 5^(k+9) (mod 13)
Da conclusao 1, vem: 5^(k+9) == 10 (mod 13) (IMPOSSÍVEL)
11) n = 13k + 10; n == (-3) (mod 13) --> n^5 == (-3)^5 == (-9) (mod 13) ;
5^(13k+10) == 5^(k+10) (mod 13)
Da conclusao 1, vem: 5^(k+10) == 9 (mod 13) (IMPOSSÍVEL)
12) n = 13k + 11; n == (-2) (mod 13) --> n^5 == (-2)^5 == (-6) (mod 13) ;
5^(13k+11) == 5^(k+11) (mod 13)
Da conclusao 1, vem: 5^(k+11) == 6 (mod 13) (IMPOSSÍVEL)
13) n = 13k + 12; n == (-1) (mod 13) --> n^5 == (-1)^5 == (-1) (mod 13) ;
5^(13k+12) == 5^(k+12) (mod 13)
Da conclusao 1, vem: 5^(k+12) == 1 (mod 13)
Da conclusao 2, vem que (k+12) = 4m , ou seja, k = 4m - 12
Mas n = 13k+12, logo n = 13(4m-12) + 12 = 52 m - 144 (4a SOLUCAO)
Assim, vejamos a congruência das solucoes de n módulo 52...
1a SOLUCAO: n == 14 (mod 52)
2a SOLUCAO: n == (-21) == 31 (mod 52)
3a SOLUCAO: n == (-83) == 21 (mod 52)
4a SOLUCAO: n == (-144) == 12 (mod 52)
Assim, para todo t inteiro, as solucoes sao:
(n = 52t + 12; n = 52t + 14; n = 52t + 21; n = 52t + 31)
Logo, as primeiras solucoes entre inteiros positivos sao:
n = 12; 14; 21; 31; 64; 66; 73; 83; etc
Espero ter ajudado...
[ ]'s
Alexandre Terezan
PS: Houve algum erro com seu script...
-----Mensagem Original-----
De: "Helder Suzuki" <htsrlz@yahoo.com.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Quinta-feira, 14 de Março de 2002 21:22 Terezan
Assunto: Re:[obm-l] como posso resolver ?
obrigado por responder o meu e-mail.
eu fiz um pequeno script e encontrei vários n's.
mas não sei como calcular esse ciclo..
lá vai alguns:
n | 5^n + n^5
12 | 244389457
14 | 6104053449
21 | 476837162287226
25 | 298023223886718750
54 | 5,5511151231257827021181583405e+37
--- dirichlet <dirichlet@bol.com.br> escreveu: > >Sugestao:use
congruencias.Tente na porrada achar o
> primeiro n.Depois calcule o ciclo desta funçao(5^n+n^5)
> modulo 13(nao se assuste se voce demorar um pouco).E
> pronto!!
>
>
> ORIGINAL MESSAGE
>
> Eu ficaria muito feliz se alguem puder me dar uma luz:
> >
> > Dê todos os n possíveis para 5^n + n^5 ser multiplo de
> 13.
> >
> > Hélder
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